Instabilità dell’equilibrio: il carico critico di Eulero
Carico critico di Eulero dimostrato, lunghezze libere di inflessione, snellezza e tensione critica con esempio, imperfezioni e curve di instabilità, svergolamento e imbozzamento.
Un righello premuto alle estremità, superato un certo carico, si inflette di colpo di lato: non perché il materiale abbia raggiunto la sua resistenza, ma perché la forma diritta non è più stabile. È l’instabilità dell’equilibrio, e per i pilastri snelli, le aste compresse dei tralicci e le pareti sottili è il criterio che decide il progetto. In questa lezione vediamo il carico critico di Eulero con la dimostrazione, le lunghezze libere di inflessione per i diversi vincoli, la snellezza e la tensione critica con un esempio, e il comportamento delle aste reali con imperfezioni.
Il carico critico di Eulero
Si consideri un’asta perfettamente diritta, elastica, incernierata alle estremità e compressa da un carico 
lungo l’asse. Per carichi piccoli, se la si sposta di lato e la si lascia, torna diritta; oltre un certo carico, può restare in equilibrio anche inflessa.
Teorema (Eulero, 1744). Il più piccolo carico per cui l’asta incernierata di lunghezza 
ammette una configurazione di equilibrio inflessa è
![\[ P_{cr} = \frac{\pi^2EI}{L^2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d933990c69d65453c278a98d402c33f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. In una configurazione inflessa con spostamento laterale 
, il carico produce nella sezione un momento 
. L’equazione della linea elastica (lezione sulla linea elastica) diventa 
, cioè
![\[ v'' + k^2v = 0,\qquad k^2 = \frac{P}{EI} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c539734f4eec4f39d2b67f53ccb6be61_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con soluzione generale 
. Le cerniere impongono 
, quindi 
, e 
, quindi 
. Se 
l’asta è diritta; una configurazione inflessa (
) esiste solo se 
, cioè 
. Il valore più piccolo, 
, dà 
. ∎
Il carico critico dipende dalla rigidezza 
, non dalla resistenza del materiale: un acciaio ad alta resistenza non aiuta un’asta snella, perché il modulo di Young è lo stesso di quello comune. L’inflessione avviene attorno all’asse di minore inerzia.
Le lunghezze libere di inflessione
Con vincoli diversi la deformata cambia, e si usa la lunghezza libera di inflessione 
, la distanza tra due punti di flesso della deformata: 
. Un’asta a mensola (
) ha un carico critico quattro volte più piccolo di una incernierata; un’asta incastrata alle due estremità (
) quattro volte più grande.
Snellezza e tensione critica
Dividendo per l’area e introducendo il raggio d’inerzia 
e la snellezza 
:
![\[ \sigma_{cr} = \frac{P_{cr}}{A} = \frac{\pi^2E}{\lambda^2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-347ab3557fc1f59d9580abdf65fa0575_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
L’asta cede per instabilità se 
è minore della tensione di snervamento, cioè se è abbastanza snella: per l’acciaio S235 il limite è 
.
Esempio. Un tondo d’acciaio di 50 mm, lungo 2 m, incernierato: 
mm⁴, 
kN. L’area è 1963 mm², la tensione critica circa 81 MPa: ben sotto lo snervamento (235 MPa), che porterebbe a 461 kN. Il raggio d’inerzia è 
mm e la snellezza 160: l’asta è snella, e il suo limite è l’instabilità, non la resistenza. Un tubo con la stessa area ma diametro maggiore avrebbe un 
molto più grande: per le aste compresse il materiale va messo lontano dall’asse, come per la flessione (lezione sulla flessione).
Le aste reali
Le aste reali non sono perfettamente diritte né caricate esattamente in asse, e il materiale non è indefinitamente elastico. Con un’imperfezione iniziale l’asta si inflette fin dall’inizio, e l’inflessione cresce rapidamente avvicinandosi al carico critico (amplificata del fattore 
); il momento dovuto all’inflessione porta il materiale a snervarsi prima di 
. Per questo le norme non usano direttamente il carico euleriano, ma curve di instabilità ricavate da prove e calcoli, che danno un coefficiente di riduzione 
della resistenza in funzione della snellezza e del tipo di sezione (lezione sull’acciaio di Tecnica delle costruzioni). Per le aste tozze 
è vicino a 1, per le snelle tende alla curva di Eulero, e nella zona intermedia, dove imperfezioni e plasticità si combinano, è minore di entrambi i limiti.
L’instabilità non riguarda solo le aste compresse: una trave alta e stretta inflessa può sbandare lateralmente e torcersi (svergolamento), una lamiera sottile compressa si imbozza, un tubo sottile sotto pressione esterna si schiaccia. Sono tutti fenomeni in cui una forma snella perde la propria stabilità prima che il materiale ceda.
