Azioni interne, approfondimento: concio di trave, regola delle aree, mensola e carico concentrato
L'equilibrio del concio di trave, la regola delle aree per disegnare taglio e momento a mano, la mensola con carico all'estremo e la trave appoggiata con carico concentrato dimostrate, il metodo in cinque passi.
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Questa pagina approfondisce la lezione sulle azioni interne: disegna l’equilibrio del concio di trave, ricava la regola delle aree, il modo più rapido per tracciare i diagrammi a mano, dimostra i diagrammi della mensola e della trave con un carico concentrato in posizione qualunque e riassume il metodo in cinque passi.
Il concio di trave e la regola delle aree
La dimostrazione delle relazioni differenziali si segue meglio guardando il concio con tutte le forze e i momenti nei loro versi positivi.
Le due relazioni si possono anche integrare tra due sezioni 
e 
:
![\[ V(x_2) - V(x_1) = -\int_{x_1}^{x_2}q(x)\,dx,\qquad M(x_2) - M(x_1) = \int_{x_1}^{x_2}V(x)\,dx \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8a813b41e2d71bdeb3307fdc0eb4c683_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È la regola delle aree, il modo più rapido per disegnare i diagrammi a mano:
- la variazione del taglio tra due sezioni è uguale (cambiata di segno) al carico totale applicato tra di esse;
- la variazione del momento tra due sezioni è uguale all’area del diagramma del taglio tra di esse.
Un carico concentrato 
è il limite di un carico distribuito molto stretto: il suo integrale vale su un tratto di lunghezza nulla, quindi il taglio salta di 
nel punto di applicazione, mentre il momento, integrale di una funzione limitata, resta continuo ma cambia pendenza (punto angoloso). Allo stesso modo una coppia concentrata fa saltare il momento.
La mensola con carico all’estremo
Teorema. Per una mensola di luce 
incastrata a sinistra, con un carico all’estremo libero, a distanza 
dall’incastro:
![\[ V(x) = P,\qquad M(x) = -P(L - x),\qquad M_{max} = PL\ \text{(all'incastro)} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e226423e4162d69ce0f26ecb531d8c36_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Conviene scrivere l’equilibrio del tratto di destra, che non contiene l’incastro e quindi non richiede di calcolare reazioni. Tagliando in , sul tratto di destra agiscono verso il basso all’estremo e le azioni interne sulla faccia di sinistra del tratto. L’equilibrio verticale dà un taglio pari a ; l’equilibrio dei momenti rispetto alla sezione dà un momento 
, che tende le fibre superiori: con la convenzione adottata è negativo. Per 
vale 
. ∎
Verifica con la regola delle aree. L’area del diagramma del taglio da a è ; il momento a destra è nullo, quindi 
. Stesso risultato, senza scrivere equazioni di equilibrio.
La trave appoggiata con carico concentrato
Teorema. Una trave appoggiata di luce con un carico a distanza 
dall’appoggio sinistro (e 
dal destro) ha reazioni 
, 
, e il momento massimo sotto il carico:
![\[ M_{max} = \frac{Pab}{L} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-38f908bdc2a33f70efb2c0bd40edba9e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. L’equilibrio dei momenti rispetto a 
dà 
; quello verticale 
. Il taglio vale 
a sinistra del carico e 
a destra: cambia segno sotto il carico, dove il momento è massimo. Per la regola delle aree il momento lì vale l’area del rettangolo del taglio tra 
e il carico: 
. ∎
Con il carico in mezzeria 
e si ritrova 
della tabella nella lezione. È anche la posizione peggiore: il prodotto 
con 
fissato è massimo per 
.
Il metodo, passo per passo
Per qualunque trave isostatica la procedura è sempre la stessa:
- Reazioni vincolari dalle tre equazioni di equilibrio della trave intera (lezione sulle strutture isostatiche). Conviene scrivere le equazioni dei momenti rispetto ai vincoli, così ogni equazione ha una sola incognita.
- Tratti: si divide la trave nei punti in cui cambia il carico (carichi concentrati, inizio e fine dei carichi distribuiti, vincoli).
- Taglio: si parte da un estremo e si procede con la regola delle aree, sommando i salti dei carichi concentrati e le pendenze
dei carichi distribuiti. - Momento: si integra il taglio, ancora con la regola delle aree; i massimi stanno dove il taglio si annulla o cambia segno.
- Controlli: il momento deve tornare a zero agli estremi liberi e agli appoggi di estremità; alla fine il taglio deve chiudere con la reazione dell’ultimo vincolo.
Errori tipici
- Cambiare convenzione a metà esercizio: si sceglie una convenzione per taglio e momento (qui: momento positivo se tende le fibre inferiori) e la si mantiene, scrivendo sempre l’equilibrio dello stesso tratto, destro o sinistro.
- Cercare il massimo del momento solo dove
: con carichi concentrati il taglio salta senza passare per zero, e il massimo sta nel punto del salto in cui il taglio cambia segno. - Dimenticare il segno delle reazioni: una reazione negativa non è un errore di calcolo, ma un’informazione sul vincolo (vedi la trave con sbalzo).
- Confondere l’area del carico con l’area del taglio: l’area del carico dà la variazione del taglio, l’area del taglio quella del momento.
- Unità di misura: il momento si misura in kN·m (forza per lunghezza), il carico distribuito in kN/m; mescolarle è l’errore più comune nei compiti.
Gli esercizi sull’argomento, con travi appoggiate, mensole e sbalzi, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.
