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Campi Elettromagnetici

Equazioni di Maxwell in forma differenziale, condizioni al contorno e teorema di Poynting

Forma differenziale e relazioni costitutive, equazione di continuità, condizioni al contorno con dimostrazione, conduttore perfetto, teorema di Poynting ed energia che viaggia nel campo.

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In Fisica 2 le equazioni di Maxwell sono state presentate in forma integrale, come leggi su superfici e percorsi chiusi. Per studiare onde, linee di trasmissione, guide e antenne serve la forma differenziale, che descrive il campo punto per punto, insieme alle condizioni che i campi devono rispettare sulle superfici di separazione tra materiali diversi. In questa lezione ricaviamo entrambe e dimostriamo il teorema di Poynting, il bilancio dell’energia elettromagnetica.

Le equazioni in forma differenziale

Applicando il teorema della divergenza alle leggi di Gauss e il teorema di Stokes a quelle di Faraday e Ampère-Maxwell (lezioni di Analisi 2), e usando il fatto che valgono per qualsiasi volume o superficie, si ottiene:

    \[ \nabla\cdot\mathbf{D} = \rho,\qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0 \]

    \[ \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \]

Nei materiali lineari e isotropi valgono le relazioni costitutive

    \[ \mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E},\qquad \mathbf{B} = \mu\mathbf{H},\qquad \mathbf{J} = \sigma\mathbf{E} \]

con \varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0, \mu = \mu_r\mu_0 e \sigma la conducibilità (l’ultima è la legge di Ohm locale).

La conservazione della carica è già dentro le equazioni. Calcolando la divergenza della legge di Ampère-Maxwell, poiché la divergenza di un rotore è zero:

    \[ 0 = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf{D} = \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} \]

È l’equazione di continuità: la carica che esce da un volume è uguale alla diminuzione di quella contenuta. Senza il termine \partial\mathbf{D}/\partial t aggiunto da Maxwell questa uguaglianza non tornerebbe, ed è per questo che quel termine è necessario.

Le condizioni al contorno

Sulla superficie di separazione tra due materiali i campi possono essere discontinui, ma non in modo arbitrario.

Cilindretto e percorso chiuso a cavallo della superficie di separazione tra due materiali
Il cilindretto di altezza Δh attraversa la superficie, con le basi nei due materiali: serve per le componenti normali dei campi. Il percorso rettangolare tratteggiato ha i lati lunghi nei due materiali: serve per le componenti tangenziali. Facendo tendere a zero l’altezza si ottengono le condizioni al contorno.

Componenti normali. Si applica la legge di Gauss a un cilindretto con le basi di area \Delta S nei due materiali e altezza \Delta h \to 0. Il flusso laterale si annulla, e resta (\mathbf{D}_1 - \mathbf{D}_2)\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\Delta S = \rho_s\Delta S, dove \rho_s è l’eventuale carica superficiale. Lo stesso per \mathbf{B}, senza sorgenti:

    \[ D_{1n} - D_{2n} = \rho_s,\qquad B_{1n} = B_{2n} \]

Componenti tangenziali. Si applica la legge di Faraday a un percorso rettangolare con i lati lunghi \Delta l nei due materiali e i lati corti \Delta h \to 0. Il flusso di \mathbf{B} attraverso un’area che tende a zero si annulla, e resta (E_{1t} - E_{2t})\Delta l = 0. Per Ampère-Maxwell resta l’eventuale corrente superficiale J_s:

    \[ E_{1t} = E_{2t},\qquad H_{1t} - H_{2t} = J_s \]

Il conduttore perfetto. Dentro un conduttore ideale (\sigma \to \infty) i campi variabili sono nulli. Sulla sua superficie quindi il campo elettrico è solo normale e il campo magnetico solo tangenziale, sostenuto da una corrente superficiale. Queste due regole bastano per risolvere guide d’onda, cavità e linee.

Il teorema di Poynting

Teorema. In una regione di volume V racchiusa dalla superficie S:

    \[ -\frac{d}{dt}\int_V\left(\frac12\varepsilon E^2 + \frac12\mu H^2\right)dV = \int_V \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\,dV + \oint_S(\mathbf{E}\times\mathbf{H})\cdot d\mathbf{S} \]

La diminuzione dell’energia immagazzinata nei campi è uguale alla potenza ceduta alle cariche (calore per effetto Joule, o lavoro sui generatori) più la potenza che esce attraverso la superficie, data dal flusso del vettore di Poynting \mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H}, in W/m².

Dimostrazione. Si usa l’identità vettoriale \nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) = \mathbf{H}\cdot(\nabla\times\mathbf{E}) - \mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{H}). Sostituendo le due equazioni dei rotori:

    \[ \nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) = -\mathbf{H}\cdot\mu\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t} - \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} - \mathbf{E}\cdot\varepsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac12\mu H^2 + \frac12\varepsilon E^2\right) - \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \]

Integrando sul volume e applicando il teorema della divergenza al primo membro si ottiene l’enunciato. ∎

L’energia viaggia nel campo

Esempio. Un filo cilindrico di raggio a e lunghezza L, con resistenza R, percorso da una corrente continua I. Sulla superficie il campo elettrico è parallelo al filo, E = V/L con V = RI, e il campo magnetico è circolare, H = I/(2\pi a). Il vettore di Poynting è perpendicolare alla superficie e diretto verso l’interno del filo, e il suo flusso totale è

    \[ E\,H\cdot 2\pi aL = \frac{V}{L}\cdot\frac{I}{2\pi a}\cdot 2\pi aL = VI \]

proprio la potenza dissipata nel filo. Il risultato è sorprendente: l’energia non scorre “dentro” il filo insieme agli elettroni, ma arriva dallo spazio circostante attraverso il campo, e il filo fa da guida. È il punto di vista che rende naturali le linee di trasmissione, le guide d’onda e le antenne, che vedremo nelle prossime lezioni.

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