Modulazione: AM, FM, QAM e capacità di Shannon
Modulazione d'ampiezza e suo spettro, FM e regola di Carson, modulazioni digitali e costellazioni QAM, OFDM, capacità di canale di Shannon con esempi e limite di −1,6 dB.
Un segnale audio non si può trasmettere direttamente via radio: servirebbero antenne lunghe chilometri, e tutte le stazioni userebbero le stesse frequenze. La modulazione sposta il segnale attorno a una frequenza portante scelta, dove l’antenna è piccola e c’è posto per tanti canali affiancati. In questa lezione vediamo le modulazioni analogiche AM e FM, le modulazioni digitali e il limite teorico alla velocità di qualsiasi trasmissione: la capacità di Shannon.
La modulazione d’ampiezza
Un messaggio 
, con banda 
e 
, modula l’ampiezza di una portante a frequenza 
:
![\[ s(t) = A_c\,[1 + k\,m(t)]\cos(2\pi f_c t),\qquad 0 \lt k \le 1 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-524e483feff8cd271b7d96402a6a98d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lo spettro. Per la proprietà di modulazione, moltiplicare per 
trasla lo spettro di 
e ne dimezza l’ampiezza: ![m(t)\cos(2\pi f_ct) \leftrightarrow \frac12[M(f - f_c) + M(f + f_c)]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbda4861701f61af87170e9589e5881a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Lo spettro AM contiene quindi la portante (una riga in ) e due bande laterali, copie dello spettro del messaggio sopra e sotto la portante. La banda occupata è
![\[ B_{AM} = 2B \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f98cbf356f1b822200a20c66d31771a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il pregio dell’AM è il ricevitore: con 
l’inviluppo del segnale è proprio ![A_c[1 + km(t)]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1a3483d3f9901facae342c09bfd6d52_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, e lo si recupera con un diodo, un condensatore e un resistore (rivelatore d’inviluppo, lo stesso circuito del raddrizzatore con filtro). Il difetto è l’efficienza: con un messaggio sinusoidale e 
due terzi della potenza vanno nella portante, che non porta informazione, e con i segnali reali la quota è ancora più alta. Varianti più efficienti eliminano la portante (DSB) o anche una delle due bande laterali, che sono ridondanti (SSB, usata dai radioamatori), al prezzo di un ricevitore più complesso.
La modulazione di frequenza
Nella FM l’ampiezza è costante e il messaggio modifica la frequenza istantanea: 
, dove 
è la deviazione massima. La banda occupata è data con buona approssimazione dalla regola di Carson:
![\[ B_{FM} \approx 2(\Delta f + B) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d14d1b4143a2bc22f0a4c6363504507_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esempio. La radio FM broadcast usa 
kHz per un audio di 15 kHz: 
kHz, e infatti le stazioni sono distanziate di 200 kHz.
La FM occupa molta più banda dell’AM, ma in cambio è molto più robusta al rumore: i disturbi alterano soprattutto l’ampiezza, che il ricevitore ignora. È lo scambio tra banda e qualità che ritroveremo nella formula di Shannon.
Le modulazioni digitali
Per trasmettere bit si modula la portante con un insieme finito di forme d’onda, i simboli. Ogni simbolo si rappresenta come un punto nel piano delle due componenti 
(in fase, 
) e 
(in quadratura, 
): 
. L’insieme dei punti è la costellazione.
- ASK (on-off): portante accesa o spenta; semplicissima, usata nei telecomandi.
- FSK: due frequenze diverse per 0 e 1; robusta, usata in Bluetooth a bassa energia.
- PSK: la fase della portante; BPSK porta 1 bit per simbolo, QPSK 2 bit con quattro fasi.
- QAM: ampiezza e fase insieme; 16-QAM porta 4 bit per simbolo, 256-QAM 8, 4096-QAM (Wi-Fi 7) 12.
Più punti significano più bit per simbolo, ma punti più vicini a parità di potenza: serve un SNR più alto perché il rumore non sposti il punto ricevuto nella regione di un vicino. Per questo il Wi-Fi e il 5G cambiano costellazione in continuazione: 256-QAM vicino al router, QPSK lontano.
OFDM. I sistemi moderni (Wi-Fi, 4G, 5G, DVB-T) dividono la banda in centinaia o migliaia di sottoportanti strette, ciascuna modulata in QAM, generate e separate con la FFT (lezione di Calcolo numerico). Ogni sottoportante è così stretta che il canale, per lei, è quasi piatto: si evitano gli echi e l’interferenza tra simboli.
La capacità di Shannon
Quanti bit al secondo si possono trasmettere al massimo, senza errori, su un canale di banda con rumore bianco gaussiano?
Teorema (Shannon, 1948). La capacità del canale è
![\[ C = B\log_2\left(1 + \mathrm{SNR}\right)\ \text{bit/s} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-53a5d7f5beece73b9e6d19bd35d154b5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sotto questa velocità esistono codici che rendono la probabilità d’errore piccola quanto si vuole; sopra, è impossibile. Il teorema non dice come costruire quei codici: ci sono voluti cinquant’anni per arrivare, con i turbo codici e gli LDPC, a pochi decimi di decibel dal limite.
Esempi.
- Una linea telefonica analogica, 3 kHz di banda e 30 dB di SNR:
kbit/s. I modem degli anni ’90 arrivarono a 33,6 kbit/s, praticamente al limite. - Un canale da 20 MHz con 30 dB di SNR:
Mbit/s.
Banda e potenza. La capacità cresce in proporzione alla banda, ma solo in modo logaritmico con l’SNR: ad alto SNR, raddoppiare la potenza aggiunge appena bit/s. Con potenza limitata e banda abbondante si arriva a un limite assoluto: nessun sistema può funzionare con 
sotto 
, cioè −1,6 dB. Le sonde spaziali, con pochissima potenza ricevuta, lavorano vicino a questo limite; i sistemi cellulari, con poca banda e molti utenti, puntano invece su costellazioni dense e su più antenne (MIMO), che moltiplicano la capacità creando più canali paralleli nello stesso spazio.
