Quantizzazione: rumore, 6 dB per bit e convertitori sigma-delta
Quantizzatore uniforme, potenza del rumore di quantizzazione e SNR con dimostrazione, numero effettivo di bit, legge μ e A, dithering, sovracampionamento e noise shaping.
Il campionamento discretizza il tempo; per memorizzare un campione in un numero finito di bit bisogna discretizzare anche l’ampiezza. È la quantizzazione, e a differenza del campionamento perde sempre qualcosa: l’errore di arrotondamento. In questa lezione vediamo quanto vale questo errore, perché ogni bit in più guadagna 6 dB e come i convertitori moderni riescono a fare meglio con trucchi di elaborazione.
Il quantizzatore uniforme
Un convertitore analogico-digitale (ADC) a 
bit divide l’intervallo d’ingresso, di ampiezza totale 
(fondo scala), in 
livelli distanti
![\[ \Delta = \frac{V_{FS}}{2^N} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d334fed917fa20ea000eadfb52b944ae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e a ogni campione assegna il livello più vicino. La caratteristica ingresso-uscita è una gradinata, e l’errore di quantizzazione 
è un dente di sega compreso tra 
e 
.
Esempio. Un ADC a 12 bit con fondo scala 3,3 V ha 
mV: è la risoluzione con cui un microcontrollore legge un sensore.
La potenza dell’errore
Se il segnale è abbastanza complesso e varia su molti livelli, l’errore si comporta come un rumore con distribuzione uniforme tra e , indipendente dal segnale.
Teorema. La potenza del rumore di quantizzazione è
![\[ \sigma_e^2 = \frac{\Delta^2}{12} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7dfe2e5c0581d7608ba23d14c3fc303_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Con densità uniforme 
sull’intervallo, la media è zero e
![\[ \sigma_e^2 = \int_{-\Delta/2}^{\Delta/2} e^2\,\frac{1}{\Delta}\,de = \frac{1}{\Delta}\left[\frac{e^3}{3}\right]_{-\Delta/2}^{\Delta/2} = \frac{1}{\Delta}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\Delta^3}{8} = \frac{\Delta^2}{12} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cb5bad06effb03b5c1074a6fe587b06_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
∎
Il rapporto segnale-rumore
Teorema. Per una sinusoide che occupa tutto il fondo scala, il rapporto segnale-rumore di quantizzazione di un convertitore a bit è
![\[ \mathrm{SNR} = 6{,}02\,N + 1{,}76\ \text{dB} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7b039edf0bdf52883e7f71ec08c4169_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. La sinusoide ha ampiezza 
e potenza 
. Dividendo per 
:
![\[ \mathrm{SNR} = \frac{2^{2N}\Delta^2/8}{\Delta^2/12} = \frac32\cdot 2^{2N} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-583e03a613422b0323edcc2c4b01c3f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In decibel, 
. ∎
Ogni bit in più vale circa 6 dB, cioè dimezza l’ampiezza dell’errore.
| Bit | SNR teorico | Uso tipico |
|---|---|---|
| 8 | 49,9 dB | video, sensori semplici |
| 12 | 74,0 dB | microcontrollori, strumenti |
| 16 | 98,1 dB | CD audio |
| 24 | 146,2 dB | registrazione professionale |
I convertitori reali non arrivano a questi valori, perché il rumore e le non linearità dei circuiti analogici si aggiungono. Si definisce allora il numero effettivo di bit (ENOB) ricavandolo dall’SNR misurato: un convertitore “a 24 bit” con 90 dB di SNR misurato ha circa 
bit effettivi.
Il segnale deve anche sfruttare il fondo scala: una sinusoide che usa solo un decimo dell’intervallo perde 20 dB di SNR. Superare il fondo scala, invece, produce una saturazione (clipping) molto più fastidiosa del rumore.
Quantizzazione non uniforme
La voce ha un’ampiezza che varia molto: le sillabe deboli finirebbero in pochi livelli e sarebbero molto rumorose. La telefonia digitale usa allora una quantizzazione logaritmica (legge μ in America e Giappone, legge A in Europa): passi piccoli per i segnali deboli, grandi per quelli forti, così l’SNR resta quasi costante. Con 8 bit a 8 kHz si ottiene il classico canale telefonico a 64 kbit/s.
Dithering
Con segnali molto deboli, che variano di meno di un livello, l’errore non è più casuale ma segue il segnale: compare come distorsione armonica, molto udibile. Aggiungendo prima di quantizzare un piccolo rumore casuale (il dither, di ampiezza circa un livello), l’errore torna a essere un rumore uniforme e indipendente. Sembra paradossale aggiungere rumore per migliorare il suono, ma un fruscio costante è molto meno fastidioso di una distorsione.
Sovracampionamento e noise shaping
La potenza del rumore di quantizzazione si distribuisce uniformemente tra 0 e 
. Campionando a una frequenza 
volte maggiore del necessario e filtrando poi in digitale la sola banda utile, si elimina una frazione 
del rumore: l’SNR migliora di 
dB. Con 
si guadagnano 6 dB, cioè un bit.
I convertitori sigma-delta spingono l’idea all’estremo: usano un quantizzatore di pochi bit (anche uno solo) a frequenza altissima, dentro un anello di retroazione che “spinge” il rumore di quantizzazione verso le alte frequenze (noise shaping), dove il filtro digitale lo elimina. Così si ottengono 20 bit e più con circuiti analogici semplici: è la tecnica di quasi tutti i convertitori audio e di misura di precisione. Per segnali veloci si usano invece convertitori ad approssimazioni successive (SAR), fino a qualche decina di megacampioni al secondo, e convertitori flash o pipeline per le frequenze più alte.
Quanto pesa. Un CD contiene 
campioni al secondo, a 16 bit, per due canali: 
Mbit/s. È per ridurre questo flusso che esistono i formati compressi come MP3 e AAC, che eliminano ciò che l’orecchio non percepisce.
