Processi aleatori, densità spettrale e rumore termico
Stazionarietà ed ergodicità, densità spettrale di potenza, passaggio in un filtro con dimostrazione, rumore bianco, rumore termico, rumore kT/C con dimostrazione, shot e 1/f.
Una variabile aleatoria descrive un numero incerto; un processo aleatorio descrive un intero segnale incerto, un valore aleatorio per ogni istante. Il rumore di un circuito, il parlato, i dati trasmessi sono processi aleatori. Non si può prevedere la loro forma d’onda, ma si possono calcolare la potenza, come è distribuita in frequenza e come la modifica un filtro. In questa lezione vediamo questi strumenti e li applichiamo al rumore termico.
Processi aleatori
Un processo 
si può pensare come l’insieme di tutte le forme d’onda che un esperimento potrebbe produrre (le realizzazioni). Fissato un istante, 
è una variabile aleatoria. Le grandezze principali sono
![\[ \mu_X(t) = E[X(t)],\qquad R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)\,X(t_2)] \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e2c4feeade83873945a9056991bdc60_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
la media e l’autocorrelazione, che dice quanto sono legati i valori in due istanti diversi.
Stazionarietà. Un processo è stazionario in senso lato se la media è costante e l’autocorrelazione dipende solo dalla distanza tra gli istanti: 
. Le sue proprietà statistiche non cambiano nel tempo. ![R_X(0) = E[X^2]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a02e97b1ddc71e7bd1f7f826bfb1be3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è la potenza media.
Ergodicità. Un processo è ergodico se le medie temporali su una sola realizzazione lunga coincidono con le medie d’insieme. È l’ipotesi che si fa sempre in pratica: si misura il rumore di un amplificatore per un tempo lungo, non di mille amplificatori nello stesso istante.
La densità spettrale di potenza
Definizione (Wiener-Khinchin). Per un processo stazionario, la densità spettrale di potenza è la trasformata di Fourier dell’autocorrelazione:
![\[ S_X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} R_X(\tau)\,e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0115d70a37ac24703aeb337df40dc239_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Antitrasformando in 
: ![E[X^2] = R_X(0) = \int S_X(f)\,df](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5aac73c806046804ebac4355a6f44a93_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. La potenza totale è l’area sotto 
, e la potenza in una banda è l’area su quella banda: si misura in W/Hz (o V²/Hz).
Il passaggio in un filtro
Teorema. Se un processo stazionario 
attraversa un sistema LTI stabile con risposta in frequenza 
, l’uscita 
è stazionaria e
![\[ S_Y(f) = |H(f)|^2\,S_X(f) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8085a762b561b676ca775d099010076e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. L’uscita è 
. Allora
![\[ R_Y(\tau) = E[Y(t + \tau)Y(t)] = \iint h(\alpha)h(\beta)\,E[X(t + \tau - \alpha)X(t - \beta)]\,d\alpha\,d\beta = \iint h(\alpha)h(\beta)\,R_X(\tau - \alpha + \beta)\,d\alpha\,d\beta \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-580236db3357d6d73b8ba482567d6e79_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che dipende solo da 
. L’espressione è la convoluzione di 
con 
e con 
. Trasformando, la convoluzione diventa prodotto e la trasformata di è 
(risposta reale): 
. ∎
La fase del filtro non conta: per la potenza conta solo il modulo.
Il rumore bianco
Un processo con densità spettrale costante,
![\[ S_N(f) = \frac{N_0}{2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2bfa5b5e697bba56deb9871cac74b0e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
si chiama rumore bianco, per analogia con la luce bianca che contiene tutti i colori. La sua autocorrelazione è 
: due valori in istanti diversi, anche vicinissimi, sono scorrelati. È un’idealizzazione (avrebbe potenza infinita), ma è un ottimo modello finché la banda del rumore è molto più larga di quella del sistema che lo riceve. Se è anche gaussiano si parla di rumore bianco gaussiano additivo (AWGN), il modello standard dei canali di comunicazione.
All’uscita di un filtro la potenza del rumore è 
. Si definisce banda equivalente di rumore 
la banda del filtro ideale con lo stesso guadagno massimo che lascia passare la stessa potenza: per un passa basso RC, 
.
Il rumore termico
Gli elettroni di un resistore si agitano per effetto della temperatura, e ai suoi capi compare una tensione di rumore. Il risultato di Johnson e Nyquist (1928) è che, fino a frequenze altissime, è un rumore bianco gaussiano con
![\[ \overline{v_n^2} = 4kTRB \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-066cd05450029e6dd6e48913d7042746_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
in una banda 
, dove 
J/K è la costante di Boltzmann e 
la temperatura assoluta.
Esempio. Un resistore da 1 kΩ a 300 K, nella banda audio di 20 kHz: 
µV. Sembra poco, ma è il limite al di sotto del quale nessun microfono o sensore collegato a quella resistenza può essere amplificato senza rumore.
Teorema (rumore kT/C). La tensione di rumore ai capi del condensatore di un circuito RC ha potenza
![\[ \overline{v_C^2} = \frac{kT}{C} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55eb0d9712109802afed15e8c6f8e24b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
indipendente da R.
Dimostrazione. Il rumore del resistore, con densità 
sulle sole frequenze positive, passa attraverso il partitore RC: 
. Integrando:
![\[ \overline{v_C^2} = \int_0^\infty \frac{4kTR}{1 + (2\pi fRC)^2}\,df = 4kTR\cdot\frac{1}{2\pi RC}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{kT}{C} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-52205355341c78cd5b3b6a0e0edb2b2c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
usando 
. ∎
Una resistenza più grande fa più rumore, ma restringe anche la banda nella stessa proporzione. Con 
pF, 
µV: è il rumore fondamentale dei circuiti a capacità commutate e dei pixel dei sensori d’immagine, e il motivo per cui i condensatori di campionamento dei convertitori di precisione non possono essere troppo piccoli.
Altri rumori
- Rumore shot: la corrente in una giunzione è fatta di cariche discrete che la attraversano a caso; è bianco con
. - Rumore 1/f (flicker): densità spettrale che cresce alle basse frequenze, dovuta a difetti nei materiali; domina nei MOSFET sotto qualche kilohertz.
- Processi di Markov: in molti sistemi (code di pacchetti, canali con errori a raffica) il futuro dipende solo dallo stato presente; le catene di Markov sono il modello di base per descriverli.
