Rumore e disaccoppiamento nei circuiti analogici integrati
Rumore kT/C dimostrato e costo energetico della precisione, rumore termico e flicker dei MOSFET, legge di Pelgrom con giustificazione ed esempio, centroide comune e tecniche di disegno.
In un circuito analogico integrato due fenomeni casuali limitano la precisione: il rumore, che varia nel tempo, e il disaccoppiamento (mismatch), che fa diversi due componenti disegnati uguali e resta fisso. Entrambi si combattono con la stessa moneta: area e potenza. In questa lezione vediamo il rumore termico di un campionatore con la dimostrazione del risultato kT/C e il suo costo energetico, il rumore dei transistor, la legge di Pelgrom per il disaccoppiamento con la sua giustificazione, e le tecniche di disegno che riducono gli errori sistematici.
Il rumore kT/C
Ogni circuito che campiona una tensione su un condensatore (i convertitori analogico-digitali, i filtri a capacità commutate) usa un interruttore, un transistor con una resistenza 
in conduzione. Il rumore termico di questa resistenza (lezione sui processi aleatori di Teoria dei segnali) passa sul condensatore, e quando l’interruttore si apre il valore istantaneo del rumore resta congelato insieme al segnale.
Teorema. Il valore efficace della tensione di rumore sul condensatore è
![\[ v_{n,rms} = \sqrt{\frac{kT}{C}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-467a42c252468495511b98f15a3106ef_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
indipendentemente dal valore della resistenza.
Dimostrazione. La resistenza ha una densità spettrale di rumore di tensione 
(in V²/Hz). Questo rumore attraversa il filtro passa-basso RC, con 
. La varianza della tensione sul condensatore è l’integrale su tutte le frequenze:
![\[ \overline{v_n^2} = \int_0^\infty\frac{4kTR}{1 + (2\pi fRC)^2}\,df = 4kTR\cdot\frac{1}{2\pi RC}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{kT}{C} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e60c27e9d5ab18ad831e4587fd207e0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
usando 
con 
. La resistenza si semplifica: una resistenza più grande fa più rumore, ma su una banda più stretta. ∎
Esempio. Con 
pF a 300 K: 
µV. Un convertitore a 12 bit con fondo scala di 1 V ha un passo di 244 µV, e il rumore kT/C è accettabile; per 16 bit (15 µV di passo) servirebbe un condensatore di decine di picofarad.
La conseguenza è un legame diretto tra precisione ed energia: dimezzare il rumore richiede un condensatore quattro volte più grande, e caricarlo alla stessa velocità richiede quattro volte la corrente. Ogni bit di risoluzione in più in un convertitore limitato dal rumore termico costa circa quattro volte l’energia per conversione.
Il rumore dei transistor
- Il rumore termico del canale di un MOSFET in saturazione si rappresenta come una corrente di densità
, con 
tra 2/3 e 1 e oltre nei transistor corti. Riportato all’ingresso è una tensione di densità 
: per ridurlo serve una transconduttanza grande, cioè corrente. - Il rumore flicker (1/f), dovuto alla cattura e al rilascio di cariche nelle trappole dell’ossido, ha densità che cresce al diminuire della frequenza ed è inversamente proporzionale all’area del gate. Domina alle basse frequenze, sotto la frequenza d’angolo che va da kilohertz a megahertz. Si riduce con transistor grandi, o lo si elimina con tecniche di chopper e di autoazzeramento, che spostano il segnale a frequenza più alta prima di amplificarlo e lo riportano indietro dopo.
Il disaccoppiamento
Due transistor disegnati identici e vicini non sono uguali: la tensione di soglia e il fattore di corrente differiscono di una quantità casuale (lezione sul MOSFET nanometrico). In uno specchio di corrente o in una coppia differenziale questo produce errori di corrente e tensioni di offset.
Legge di Pelgrom. La deviazione standard della differenza di soglia tra due transistor uguali è
![\[ \sigma(\Delta V_T) = \frac{A_{VT}}{\sqrt{WL}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-298f67242804eac53346486013aa1604_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è una costante del processo, tipicamente qualche mV·µm.
Giustificazione. La soglia dipende dal numero di cariche fisse (atomi droganti, cariche nell’ossido) sotto il gate. Queste sono distribuite a caso e in modo indipendente: il loro numero in un’area 
ha una media proporzionale all’area e, come per una distribuzione di Poisson, una deviazione standard proporzionale alla radice dell’area. La soglia è proporzionale alla densità di carica, cioè al numero diviso per l’area: la sua fluttuazione relativa va come 
. La differenza tra due transistor indipendenti ha deviazione standard 
volte quella di uno, assorbita nella costante. ∎
Esempio. Con 
mV·µm, una coppia d’ingresso di 1 µm × 1 µm ha 
mV, e il 99,7 % dei circuiti ha offset entro ±9 mV. Per scendere a 1 mV di deviazione standard servono transistor nove volte più grandi, con più capacità e quindi meno velocità. Gli amplificatori di precisione usano allora la taratura dopo la produzione o le tecniche di autoazzeramento.
Il disegno per l’accoppiamento
Oltre agli errori casuali ci sono errori sistematici: gradienti di drogaggio, di spessore e di temperatura sul chip, sollecitazioni meccaniche del contenitore. Il disegno li cancella con alcune regole:
- centroide comune: i transistor da accoppiare si dividono in parti disposte simmetricamente attorno allo stesso centro (per esempio ABBA, o a scacchiera), così un gradiente lineare li influenza in modo uguale;
- interdigitazione delle dita dei transistor;
- componenti fittizi (dummy) ai bordi delle schiere, perché i dispositivi al bordo vedono un ambiente diverso durante la litografia e l’attacco;
- stesso orientamento, lontananza dalle sorgenti di calore e dagli angoli del chip, dove le sollecitazioni sono maggiori.
