Interconnessioni: ritardo dei fili, ripetitori, diafonia ed elettromigrazione
Resistenza e capacità dei fili, ritardo quadratico nella lunghezza dimostrato, ripetitori che lo rendono lineare dimostrato, diafonia ed effetto Miller, caduta sull'alimentazione, elettromigrazione.
Nei primi circuiti integrati i collegamenti erano “gratis”: il ritardo stava tutto nei transistor. Rimpicciolendo, i transistor sono diventati più veloci mentre i fili sono diventati più sottili e resistivi, e oggi in un chip grande il ritardo, il consumo e gran parte dei problemi di progetto stanno nelle interconnessioni. In questa lezione vediamo resistenza e capacità dei fili, la dimostrazione che il ritardo di un filo cresce con il quadrato della lunghezza, i ripetitori con la dimostrazione che rendono il ritardo lineare, la diafonia, le cadute sull’alimentazione e l’elettromigrazione.
Resistenza e capacità di un filo
Un filo di rame di lunghezza 
, larghezza 
e spessore 
ha resistenza
![\[ R = \rho\frac{L}{Wt} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-baab076209faa2177f8adfe72bc10dfa_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nei livelli più bassi i fili hanno sezioni di qualche decina di nanometri di lato, e la resistività effettiva del rame cresce oltre il valore massivo perché gli elettroni urtano le superfici e i bordi dei grani; inoltre una parte della sezione è occupata dalla barriera che impedisce al rame di diffondere. Un filo minimo può avere centinaia di ohm per micrometro. La capacità verso i fili vicini e gli strati sopra e sotto è circa 0,1-0,2 fF per micrometro, quasi indipendente dalle dimensioni perché larghezza e distanze scalano insieme.
Il ritardo di un filo lungo
Un filo è una rete RC distribuita: ogni tratto ha la sua resistenza e la sua capacità.
Teorema. Il ritardo di un filo non pilotato da ripetitori cresce con il quadrato della sua lunghezza.
Dimostrazione. Con resistenza 
e capacità 
per unità di lunghezza, si divide il filo in 
tratti, ciascuno con resistenza 
e capacità 
. Per il ritardo di Elmore (lezione sui ritardi), la capacità del tratto 
è caricata attraverso resistenze: 
, che per grande tende a 
. In ogni caso il ritardo è proporzionale a 
, perché raddoppiando la lunghezza raddoppiano sia la resistenza sia la capacità. ∎
Il valore più preciso del ritardo al 50 % di una linea distribuita è 
. Un filo di 1 mm con 100 Ω/µm e 0,2 fF/µm ha 
ns: inaccettabile in un processore che lavora con cicli di 250 ps.
I ripetitori
La soluzione è spezzare il filo in tratti, ciascuno pilotato da un ripetitore (un invertitore o un buffer).
Teorema. Con un numero ottimo di ripetitori il ritardo di un filo diventa proporzionale alla sua lunghezza.
Dimostrazione. Ogni tratto ha lunghezza 
e ritardo 
, dove 
è il ritardo del ripetitore e 
una costante. Il totale è 
. Derivando rispetto a e uguagliando a zero: 
, cioè 
. Sostituendo, i due termini sono uguali e 
: proporzionale a . ∎
I processori moderni contengono milioni di ripetitori, che consumano area e potenza. I collegamenti lunghi si fanno nei livelli metallici alti, più spessi e larghi, con resistenza molto minore; e le architetture si organizzano in modo che i segnali globali siano pochi, con i dati elaborati localmente (lezione sulle cache di Architettura dei calcolatori).
La diafonia
Due fili paralleli vicini formano un condensatore: quando uno commuta, inietta una perturbazione nell’altro attraverso la capacità di accoppiamento, che nei livelli bassi è la parte maggiore della capacità totale. Ne nascono due effetti:
- disturbi su un filo fermo, che possono superare la soglia di una porta e causare un errore;
- variazioni di ritardo: se il vicino commuta nel verso opposto, la capacità di accoppiamento vede una variazione di tensione doppia ed è come se raddoppiasse (effetto Miller); se commuta nello stesso verso, è come se sparisse. Il ritardo di un filo dipende quindi da cosa fanno i vicini, e l’analisi temporale (lezione sul flusso di progetto) deve tenerne conto.
Si combatte distanziando i fili critici, schermandoli con fili di massa, e alternando le direzioni dei fili tra un livello e l’altro.
Alimentazione ed elettromigrazione
Anche la rete di alimentazione è fatta di fili resistivi: decine di ampere che attraversano la rete producono cadute di tensione (IR drop), e le correnti che cambiano rapidamente producono cadute induttive (
) nel contenitore. Se l’alimentazione scende localmente del 10 %, i transistor rallentano e i tempi non tornano più. Si usano griglie fitte di alimentazione, migliaia di contatti con il contenitore e condensatori di disaccoppiamento sul chip.
L’elettromigrazione è lo spostamento degli atomi di metallo trascinati dal flusso degli elettroni ad alta densità di corrente: con gli anni si formano vuoti che interrompono il filo e accumuli che lo cortocircuitano con il vicino. La vita media segue la legge di Black, inversamente proporzionale a una potenza della densità di corrente e esponenzialmente decrescente con la temperatura. Le regole di progetto fissano la densità di corrente massima in ogni filo.
