Correlazione: autocorrelazione, Wiener-Khinchin, radar e GPS
Autocorrelazione e sue proprietà con dimostrazione, teorema di Wiener-Khinchin, correlazione incrociata e stima del ritardo, radar, codici di Barker, GPS e filtro adattato.
Quanto si somigliano due segnali? E quanto somiglia un segnale a se stesso spostato nel tempo? La correlazione risponde a queste domande, ed è lo strumento con cui un radar misura la distanza, un ricevitore GPS calcola la posizione, un modem si sincronizza e un sistema riconosce un segnale noto immerso nel rumore. In questa lezione vediamo l’autocorrelazione, le sue proprietà, il legame con lo spettro e la correlazione incrociata.
L’autocorrelazione
Per un segnale di energia (reale, per semplicità) l’autocorrelazione è
![\[ R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t + \tau)\,x(t)\,dt \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-479b5543cbaa4c31fb1e585a3ce0ff79_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si sposta il segnale di 
, lo si moltiplica per l’originale e si calcola l’area: se le due copie si sovrappongono bene il prodotto è quasi sempre positivo e l’area è grande, altrimenti i contributi positivi e negativi si compensano.
Proprietà.
: in zero l’autocorrelazione è l’energia;
: è pari;
: il massimo è in zero.
Dimostrazione dell’ultima. Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per gli integrali, 
. Con 
e 
, i due integrali sotto radice valgono entrambi 
, perché traslare un segnale non ne cambia l’energia: 
. ∎
Nessuna copia spostata somiglia al segnale più del segnale stesso. La larghezza del picco centrale dice quanto velocemente il segnale “si dimentica” di se stesso: stretta per segnali che cambiano rapidamente (banda larga), larga per segnali lenti.
Il legame con lo spettro
Teorema (Wiener-Khinchin, per segnali di energia). La trasformata di Fourier dell’autocorrelazione è la densità spettrale di energia:
![\[ \mathcal{F}\{R_x\}(f) = |X(f)|^2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-73de7f86700f559e81d21431d439f3cb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Con il cambio di variabile 
si vede che 
, cioè la convoluzione di 
con 
. La trasformata di è 
per un segnale reale, e per il teorema della convoluzione 
. ∎
L’autocorrelazione perde l’informazione sulla fase: segnali diversi con lo stesso spettro d’ampiezza hanno la stessa autocorrelazione.
Segnali di potenza. Per i segnali periodici e per quelli aleatori si usa la media temporale, 
. Allora 
è la potenza e la trasformata è la densità spettrale di potenza. L’autocorrelazione di un segnale periodico è periodica con lo stesso periodo: si usa per misurare l’altezza di una nota musicale (il primo picco dopo lo zero) anche quando il segnale è disturbato.
La correlazione incrociata
Tra due segnali diversi:
![\[ R_{rs}(\tau) = \int r(t + \tau)\,s(t)\,dt \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1ca1ca3dafc030030ce5497ee0c30016_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Se 
contiene una copia ritardata di 
, 
, la correlazione incrociata ha un picco proprio in 
: il primo termine dà 
, massimo dove la copia e l’originale si allineano, mentre il rumore, che non somiglia a , dà un contributo piccolo e casuale.
Radar. Si trasmette un impulso e si correla l’eco ricevuta con l’impulso trasmesso: il picco dà il ritardo 
, e la distanza è 
(andata e ritorno). La risoluzione dipende dalla larghezza del picco, cioè dalla banda: un impulso di 1 µs separa bersagli distanti almeno circa 150 m.
Compressione dell’impulso. Un impulso corto dà buona risoluzione ma poca energia, quindi portata ridotta. Si trasmette allora un segnale lungo ma “codificato”, per esempio il codice di Barker di 13 elementi della figura, la cui autocorrelazione ha un picco alto 13 e lobi laterali di modulo al massimo 1: l’energia di un impulso lungo con la risoluzione di uno corto.
GPS. Ogni satellite trasmette un codice pseudo-casuale diverso, lungo 1023 elementi. Il ricevitore correla il segnale ricevuto con copie locali dei codici: i picchi dicono quali satelliti sono visibili e con che ritardo arrivano i loro segnali, e dai ritardi si calcola la posizione. Il segnale GPS arriva a terra sotto il livello del rumore, e la correlazione lo fa emergere.
Correlazione e convoluzione
Le due operazioni si somigliano: la correlazione è una convoluzione con uno dei due segnali ribaltato, 
. Quindi correlare con equivale a far passare il segnale in un filtro con risposta all’impulso 
, o 
per renderlo causale. È il filtro adattato, che nella lezione sulla rivelazione dimostreremo essere il migliore possibile per riconoscere un segnale noto nel rumore bianco.
