Spettro, banda e trasmissione senza distorsione
Spettro d'ampiezza e di fase, teorema di Parseval con dimostrazione, impulso rettangolare e sinc, durata e banda, condizioni di non distorsione, ritardo di gruppo e filtro ideale.
La convoluzione descrive un sistema nel tempo, ma è un’operazione scomoda. Passando alla frequenza con la trasformata di Fourier (lezione di Metodi matematici) diventa un semplice prodotto, e molte domande pratiche trovano una risposta immediata: quanta banda occupa un segnale, cosa fa un filtro, quando un canale trasmette un segnale senza deformarlo. In questa lezione usiamo la trasformata come strumento per i segnali.
Lo spettro
La trasformata di Fourier
![\[ X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a79cb542178669df52b56ca6a308bcc1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dice quanto di ogni frequenza è contenuto nel segnale: 
è lo spettro d’ampiezza, 
lo spettro di fase. Per un segnale reale 
: il modulo è pari, e basta guardare le frequenze positive.
Il teorema della convoluzione. Se 
, allora 
. La trasformata della risposta all’impulso, 
, è la risposta in frequenza del sistema, la stessa che in Elettrotecnica si ottiene con i fasori: ogni componente sinusoidale dell’ingresso viene moltiplicata per 
e sfasata di 
.
L’energia in frequenza
Teorema (Parseval). Per un segnale di energia
![\[ E = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\,dt = \int_{-\infty}^{+\infty}|X(f)|^2\,df \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-403b717f7475f0e9beafe0f2a3949594_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Si scrive 
e si sostituisce a 
la sua espressione come antitrasformata, 
:
![\[ \int x(t)\,x^*(t)\,dt = \int X^*(f)\left(\int x(t)\,e^{-j2\pi ft}\,dt\right)df = \int X^*(f)\,X(f)\,df \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f0e626f9c786f9a5d9e2d6e565f227b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
scambiando l’ordine di integrazione. ∎
La funzione 
è la densità spettrale di energia: dice come l’energia è distribuita tra le frequenze. L’energia in una banda si ottiene integrandola su quella banda.
La banda
Un impulso rettangolare di ampiezza 
e durata 
ha trasformata
![\[ X(f) = AT\,\mathrm{sinc}(fT) = AT\,\frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb61d15bc84a2a8de3c01524b0eefc95_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lo spettro non si annulla mai del tutto: in senso stretto, nessun segnale di durata finita ha banda finita. Si usano allora definizioni pratiche di banda: la larghezza del lobo principale (qui 
per le frequenze positive), la banda a −3 dB, quella che contiene il 99% dell’energia.
Durata e banda sono inversamente proporzionali. Per la proprietà di cambiamento di scala, 
: comprimere un segnale nel tempo lo allarga in frequenza. Un impulso dieci volte più corto occupa una banda dieci volte più larga. È un limite fisico: trasmettere più dati al secondo, con impulsi più corti, richiede più banda.
Esempio. Una trasmissione a 1 Mbit/s con impulsi rettangolari da 1 µs ha il lobo principale fino a 1 MHz. Per stare in una banda più stretta si usano impulsi arrotondati (la lezione sulla rivelazione accenna agli impulsi di Nyquist).
Qualche ordine di grandezza: la voce telefonica sta in 300-3400 Hz, la musica ad alta fedeltà fino a 20 kHz, un canale Wi-Fi occupa 20-160 MHz.
La trasmissione senza distorsione
Quando un canale lascia passare un segnale “senza deformarlo”? L’uscita può essere più grande o più piccola e arrivare in ritardo, ma la forma deve essere la stessa:
![\[ y(t) = K\,x(t - t_0) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b2619aceedb4ec99795f79d52e0bf444_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Teorema. Un sistema LTI trasmette senza distorsione ogni segnale se e solo se
![\[ H(f) = K\,e^{-j2\pi f t_0} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc28e8445bd0a9ea3bdbf85fb1b4917a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
cioè modulo costante e fase lineare nella frequenza.
Dimostrazione. Trasformando 
con la proprietà del ritardo si ottiene 
, e questo vale per ogni 
se e solo se ha quella forma. ∎
In pratica basta che le due condizioni valgano nella banda del segnale. Se il modulo non è costante si ha distorsione d’ampiezza (alcune frequenze sono attenuate più di altre: la voce al telefono suona “metallica”); se la fase non è lineare, distorsione di fase: le componenti arrivano con ritardi diversi e i fronti degli impulsi si deformano. Il ritardo di ciascuna componente è il ritardo di gruppo 
, costante solo con fase lineare.
Il filtro ideale non esiste
Un filtro passa basso ideale ha 
per 
e 0 altrove. La sua risposta all’impulso è la trasformata di un rettangolo in frequenza, cioè una sinc nel tempo: 
. La sinc si estende anche a 
: il filtro ideale non è causale, risponderebbe prima di ricevere l’ingresso. I filtri reali (Butterworth, Chebyshev, filtri numerici) sono approssimazioni causali, con una banda di transizione e un po’ di distorsione di fase: progettare un filtro significa scegliere il compromesso giusto.
