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Teoria dei Segnali

Segnali e sistemi: energia, potenza, sistemi LTI e convoluzione

Classificazione dei segnali, energia e potenza, segnali elementari, proprietà dei sistemi, convoluzione con dimostrazione e calcolo grafico, causalità e stabilità BIBO.

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Un segnale è una grandezza che varia nel tempo e porta informazione: la tensione di un microfono, la corrente in un’antenna, la sequenza di numeri letta da un convertitore. Un sistema è qualsiasi cosa che trasforma un segnale in un altro: un filtro, un amplificatore, un canale di trasmissione, un programma. La Teoria dei segnali studia come descrivere gli uni e gli altri e come prevedere l’uscita di un sistema. In questa lezione vediamo le definizioni di base e il risultato più importante: per i sistemi lineari e tempo-invarianti l’uscita è una convoluzione.

Classificare i segnali

  • A tempo continuo x(t) o a tempo discreto x[n], definiti solo negli istanti interi (per esempio i campioni di un convertitore).
  • Deterministici, descritti da una formula, o aleatori, di cui si conoscono solo le proprietà statistiche (il rumore, ma anche il parlato o i dati trasmessi, che non si conoscono in anticipo).
  • Periodici, con x(t + T) = x(t), o aperiodici.

Energia e potenza. L’energia di un segnale è

    \[ E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2\,dt \]

(il nome viene dal caso di una tensione su un resistore da 1 Ω). Un impulso rettangolare di ampiezza A e durata T ha energia A^2 T. I segnali che durano per sempre, come una sinusoide, hanno energia infinita: per loro si usa la potenza media

    \[ P = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|x(t)|^2\,dt \]

Per A\cos(2\pi f_0 t), P = A^2/2. Un segnale è “di energia” se E è finita, “di potenza” se è finita P.

I segnali elementari

  • il gradino u(t), che vale 0 per t \lt 0 e 1 per t \gt 0: un interruttore che si chiude;
  • l’impulso rettangolare \mathrm{rect}(t/T), di durata T;
  • l’esponenziale e^{-t/\tau}u(t), la risposta dei circuiti del primo ordine;
  • la sinc, \mathrm{sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x), che compare in tutti i problemi di banda limitata;
  • la delta di Dirac \delta(t), un impulso di durata nulla e area unitaria, con la proprietà di campionamento \int x(\tau)\delta(t - \tau)\,d\tau = x(t) (lezione sulla delta di Metodi matematici).

Le proprietà dei sistemi

Un sistema trasforma un ingresso x(t) in un’uscita y(t). Le proprietà che contano:

  • linearità: la risposta a a x_1 + b x_2 è a y_1 + b y_2;
  • tempo-invarianza: se all’ingresso x(t) corrisponde y(t), all’ingresso ritardato x(t - t_0) corrisponde y(t - t_0): il sistema non cambia nel tempo;
  • causalità: l’uscita in un istante dipende solo dall’ingresso fino a quell’istante;
  • stabilità (BIBO, ingresso limitato e uscita limitata): a ogni ingresso limitato corrisponde un’uscita limitata.

I sistemi lineari e tempo-invarianti (LTI) sono il caso più importante: i circuiti con resistori, condensatori, induttori e amplificatori lineari, i filtri numerici, molti canali di trasmissione.

La convoluzione

La risposta all’impulso h(t) è l’uscita del sistema quando l’ingresso è \delta(t).

Teorema. L’uscita di un sistema LTI con risposta all’impulso h è la convoluzione dell’ingresso con h:

    \[ y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,h(t - \tau)\,d\tau \]

Dimostrazione. Per la proprietà di campionamento, l’ingresso si scrive come una “somma” di impulsi traslati e pesati:

    \[ x(t) = \int x(\tau)\,\delta(t - \tau)\,d\tau \]

Per la tempo-invarianza, la risposta a \delta(t - \tau) è h(t - \tau). Per la linearità, la risposta a una combinazione (anche continua) di impulsi è la stessa combinazione delle risposte: y(t) = \int x(\tau)\,h(t - \tau)\,d\tau. ∎

Il risultato è potente: un sistema LTI è descritto completamente da una sola funzione, la sua risposta all’impulso.

Il calcolo grafico. Per trovare y in un istante t: si ribalta h (h(-\tau)), la si trasla di t (h(t - \tau)), la si moltiplica per x(\tau) e si calcola l’area del prodotto. Facendo scorrere t si ottiene tutta l’uscita.

Calcolo grafico della convoluzione di un impulso rettangolare con una risposta esponenziale
In alto l’ingresso, un impulso rettangolare di durata T, e la risposta all’impulso ribaltata e traslata all’istante t; l’area della zona in comune è il valore dell’uscita in t. In basso l’uscita completa: cresce mentre l’impulso è presente e poi decade in modo esponenziale.

Esempio. Un circuito RC con uscita sul condensatore ha h(t) = \frac{1}{RC}e^{-t/RC}u(t). Con un impulso rettangolare di durata T all’ingresso, la convoluzione dà una carica esponenziale per 0 \lt t \lt T e una scarica esponenziale dopo: è proprio la curva in figura, e coincide con quello che si trova risolvendo l’equazione differenziale (lezione sui transitori di Elettrotecnica).

Le proprietà della convoluzione

  • commutativa: x * h = h * x;
  • associativa: due sistemi in cascata equivalgono a un solo sistema con risposta h_1 * h_2, e l’ordine non conta;
  • distributiva: due sistemi in parallelo equivalgono a h_1 + h_2;
  • l’elemento neutro è la delta: x * \delta = x.

Causalità e stabilità dalla risposta all’impulso

Causalità. Un sistema LTI è causale se e solo se h(t) = 0 per t \lt 0: nella convoluzione, h(t - \tau) deve annullarsi per \tau \gt t, cioè non deve “guardare” l’ingresso futuro.

Teorema. Un sistema LTI è stabile BIBO se e solo se la risposta all’impulso è assolutamente integrabile:

    \[ \int_{-\infty}^{+\infty}|h(t)|\,dt \lt \infty \]

Dimostrazione. *Sufficienza:* se |x(t)| \le M per ogni t, allora

    \[ |y(t)| \le \int |x(\tau)|\,|h(t - \tau)|\,d\tau \le M\int |h(s)|\,ds \]

che è finito. *Necessità:* se l’integrale diverge, si sceglie l’ingresso limitato x(\tau) = \mathrm{sgn}\,h(-\tau); in t = 0 l’uscita vale \int |h(-\tau)|\,d\tau = \infty. ∎

Il circuito RC è stabile (\int |h| = 1); un integratore ideale, con h(t) = u(t), non lo è: un gradino all’ingresso produce una rampa che cresce senza limite.

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