Lo spettro dei segnali digitali e il tempo di salita

Quasi tutte le emissioni di un apparecchio digitale nascono dai suoi segnali: clock, bus, linee di comando degli interruttori di potenza. Sono onde quasi rettangolari, e il loro spettro arriva molto più in alto della frequenza del clock. Quanto in alto dipende soprattutto dai tempi di salita. In questa lezione vediamo lo spettro di un’onda trapezoidale con la dimostrazione del suo inviluppo, il ruolo del tempo di salita con un esempio numerico, e come lo si riduce senza compromettere il funzionamento.

L’onda trapezoidale

Un clock reale è un’onda periodica di periodo , ampiezza , durata dell’impulso (misurata a metà ampiezza) e fronti di salita e di discesa di durata . Le sue armoniche, alle frequenze , hanno ampiezze (serie di Fourier, lezione sulla trasformata di Fourier di Metodi matematici)

Teorema. L’inviluppo delle armoniche è piatto fino a , decresce di 20 dB per decade tra e , e di 40 dB per decade oltre .

Dimostrazione. Un trapezio si ottiene convolvendo un rettangolo di durata con un rettangolo di durata (normalizzato ad area unitaria): la convoluzione “smussa” i fronti del primo in rampe lunghe . Lo spettro di una convoluzione è il prodotto degli spettri, e lo spettro di un rettangolo di durata è una funzione con : da qui i due fattori della formula. Ciascuno vale circa 1 per ed è maggiorato da per , perché . Il primo fattore comincia a scendere come (20 dB per decade) da , cioè da ; il secondo aggiunge un altro da . Oltre i due fattori insieme danno , cioè 40 dB per decade. ∎

Con duty cycle del 50 % le armoniche pari si annullano, perché il primo fattore si annulla per intero.

Il ruolo del tempo di salita

L’inviluppo mostra il punto chiave: sopra lo spettro scende rapidamente, e dipende solo dal tempo di salita, non dalla frequenza del clock.

Esempio. Clock a 100 MHz, V, ns, ns: MHz, MHz. La prima armonica vale V. A 1 GHz l’inviluppo è sceso di dB fino a , più dB: in tutto circa 34 dB sotto il livello piatto. Con fronti di 0,1 ns, invece, sale a 3,2 GHz e a 1 GHz lo spettro è solo 24 dB sotto: 10 dB in più di emissione, a parità di clock.

È per questo che le logiche veloci sono più “rumorose” anche quando lavorano lente: un microcontrollore moderno ha fronti di pochi centinaia di picosecondi anche se il suo clock è a 16 MHz.

Una regola pratica lega tempo di salita e banda: la banda significativa di un segnale digitale è circa (dove il tempo di salita è misurato tra il 10 e il 90 %), lo stesso legame tra tempo di salita e banda di un sistema del primo ordine (lezione sulla risposta nel tempo).

Come ridurre lo spettro

• Fronti più lenti: le uscite dei microcontrollori e degli FPGA hanno spesso una “slew rate” programmabile; dove la velocità non serve, si sceglie quella minima. Una resistenza in serie di qualche decina di ohm all’uscita forma con la capacità della linea un filtro passa-basso e rallenta i fronti; adatta anche l’impedenza e smorza le riflessioni (lezione sulle linee di trasmissione).
• Clock a spettro espanso (spread spectrum): la frequenza del clock viene modulata lentamente di qualche per cento, per esempio con un’onda triangolare. L’energia di ogni armonica si distribuisce su una banda più larga e il picco misurato, che è ciò che le norme limitano, scende di 6-20 dB. Il funzionamento logico non cambia, ma i margini temporali sì, e l’espansione non va usata dove serve una frequenza esatta (comunicazioni, convertitori).
• Meno commutazioni simultanee: le uscite che cambiano insieme richiedono picchi di corrente all’alimentazione, che causano il “rimbalzo di massa” e emissioni; i bus si progettano con codifiche o con ritardi diversi.
• Segnali differenziali come LVDS: due fili con correnti opposte producono campi che si cancellano a distanza (lezione sulle emissioni irradiate).

Ridurre lo spettro alla sorgente è il primo passo; quello che resta va controllato con il percorso: progetto del circuito stampato, filtri e schermi.