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Elaborazione Numerica dei Segnali

La DTFT, la risposta in frequenza e il ritardo di gruppo

Trasformata di Fourier a tempo discreto e periodicità, esponenziali come autofunzioni con dimostrazione, risposta della media mobile dimostrata, fase lineare e ritardo di gruppo, calcolo con la FFT.

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L’elaborazione numerica dei segnali tratta i segnali come successioni di numeri e li trasforma con algoritmi: filtri, analisi spettrale, cambi di frequenza di campionamento. La base di tutto è la descrizione in frequenza di segnali e sistemi a tempo discreto. In questa lezione vediamo la trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT), la dimostrazione che gli esponenziali complessi sono autofunzioni dei sistemi lineari, la risposta in frequenza della media mobile con la sua dimostrazione, e il ritardo di gruppo con la fase lineare. Il campionamento, la convoluzione e i filtri FIR e IIR di base sono nelle lezioni di Teoria dei segnali; la trasformata zeta e la DFT hanno lezioni proprie.

La trasformata di Fourier a tempo discreto

Per una successione x[n], la DTFT è

    \[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n},\qquad x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})\,e^{j\omega n}\,d\omega \]

La variabile \omega è la pulsazione normalizzata, in radianti per campione: un segnale campionato a f_s con frequenza f ha \omega = 2\pi f/f_s. La DTFT è periodica di periodo 2\pi, perché e^{-j(\omega + 2\pi)n} = e^{-j\omega n} per ogni intero n: tutte le informazioni stanno in -\pi \le \omega \le \pi, e \omega = \pi corrisponde alla metà della frequenza di campionamento. È la trasformata zeta calcolata sul cerchio unitario, z = e^{j\omega}.

Le proprietà sono quelle della trasformata di Fourier continua: la convoluzione diventa prodotto, un ritardo di n_0 campioni moltiplica per e^{-j\omega n_0}, e vale il teorema di Parseval \sum|x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega.

La risposta in frequenza

Teorema. Se un sistema lineare tempo-invariante con risposta all’impulso h[n] riceve in ingresso x[n] = e^{j\omega_0 n}, l’uscita è

    \[ y[n] = H(e^{j\omega_0})\,e^{j\omega_0 n},\qquad H(e^{j\omega}) = \sum_n h[n]e^{-j\omega n} \]

Dimostrazione. Per la somma di convoluzione

    \[ y[n] = \sum_k h[k]\,x[n-k] = \sum_k h[k]\,e^{j\omega_0(n-k)} = e^{j\omega_0 n}\sum_k h[k]\,e^{-j\omega_0 k} = H(e^{j\omega_0})\,e^{j\omega_0 n} \]

∎

Un esponenziale complesso attraversa il sistema restando sé stesso, moltiplicato per un numero complesso: è un’autofunzione. Il modulo |H| dice di quanto viene amplificata ciascuna frequenza, la fase \angle H di quanto viene sfasata. Per una sinusoide reale, somma di due esponenziali coniugati, l’uscita è la stessa sinusoide con ampiezza moltiplicata per |H(e^{j\omega_0})| e fase spostata di \angle H(e^{j\omega_0}).

La media mobile

Il filtro più semplice fa la media degli ultimi M campioni: y[n] = \frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}x[n-k].

Teorema. La risposta in frequenza della media mobile è

    \[ H(e^{j\omega}) = e^{-j\omega(M-1)/2}\;\frac{\sin(M\omega/2)}{M\sin(\omega/2)} \]

Dimostrazione. È una serie geometrica di ragione e^{-j\omega}:

    \[ H = \frac{1}{M}\sum_{k=0}^{M-1}e^{-j\omega k} = \frac{1}{M}\cdot\frac{1 - e^{-j\omega M}}{1 - e^{-j\omega}} \]

Si raccoglie e^{-j\omega M/2} al numeratore e e^{-j\omega/2} al denominatore: 1 - e^{-j\omega M} = e^{-j\omega M/2}\cdot 2j\sin(M\omega/2), e allo stesso modo il denominatore. Il rapporto degli esponenziali dà e^{-j\omega(M-1)/2} e il rapporto dei seni il resto. ∎

Modulo della risposta in frequenza della media mobile per M uguale a 4 e a 8
Il guadagno vale 1 in continua e si annulla alle pulsazioni multiple di 2 pi greco diviso M. Più lunga è la media, più stretto è il lobo principale, ma i lobi secondari restano alti: la media mobile è un passa-basso modesto.

Il guadagno vale 1 in continua e si annulla per \omega = 2\pi k/M: la media mobile cancella esattamente le sinusoidi che compiono un numero intero di periodi in M campioni. È lo stesso principio della reiezione del disturbo di rete nei voltmetri a integrazione (lezione sul voltmetro digitale di Misure elettriche). Come passa-basso però è modesta: i lobi secondari sono alti, il primo attorno al 22 % (−13 dB).

Fase lineare e ritardo di gruppo

La fase della media mobile è -\omega(M-1)/2, una retta: tutte le frequenze sono ritardate dello stesso numero di campioni, (M-1)/2. In generale si definisce il ritardo di gruppo

    \[ \tau_g(\omega) = -\frac{d\,\angle H(e^{j\omega})}{d\omega} \]

che misura il ritardo dell’inviluppo di un segnale a banda stretta attorno a \omega. Se la fase è lineare, \tau_g è costante e la forma d’onda passa senza distorsione di fase, solo ritardata (lezione sulla trasmissione senza distorsione di Teoria dei segnali). È una proprietà preziosa per l’audio, le immagini e le comunicazioni digitali, dove la distorsione di fase deforma gli impulsi e crea interferenza tra i simboli. Nella prossima lezione vedremo che i filtri FIR con coefficienti simmetrici hanno sempre fase lineare, mentre i filtri IIR in generale no.

Una nota sul calcolo

La DTFT è una funzione continua di \omega e non si calcola al computer così com’è. Se ne calcolano campioni con la DFT, che per una successione di N punti dà X(e^{j\omega}) nelle N pulsazioni 2\pi k/N, e la si calcola in fretta con la FFT (lezione sulla DFT e la FFT). Per disegnare una risposta in frequenza basta quindi calcolare la FFT della risposta all’impulso, allungata con zeri per avere punti più fitti.

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