Filtri IIR: prototipi analogici e trasformazione bilineare
Filtro di Butterworth e formula dell'ordine dimostrata, Chebyshev ed ellittici, trasformazione bilineare con dimostrazione, predistorsione, esempio numerico completo, invarianza all'impulso, FIR o IIR.
I filtri IIR hanno risposta all’impulso infinita perché usano la retroazione: l’uscita dipende anche dalle uscite passate. Con pochi coefficienti ottengono transizioni molto ripide, ma rinunciano alla fase lineare e devono essere resi stabili. Il modo classico di progettarli è partire da un prototipo analogico, uno dei filtri studiati da decenni per i circuiti, e trasformarlo. In questa lezione vediamo il filtro di Butterworth con la formula dell’ordine dimostrata, la trasformazione bilineare con la dimostrazione delle sue proprietà, la predistorsione delle frequenze, l’invarianza all’impulso e un esempio numerico completo.
I prototipi analogici
Il filtro di Butterworth di ordine 
ha
![\[ |H(j\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + (\Omega/\Omega_c)^{2N}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f0bb246792ce57c7de62cf7d864887e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È massimamente piatto: in 
le prime 
derivate del modulo quadro sono nulle, e il guadagno scende in modo monotono. A 
vale 
dB, e oltre scende di 
dB per decade. I poli stanno su un semicerchio di raggio nel semipiano sinistro.
Teorema. Per avere al massimo 
dB di attenuazione fino a 
e almeno 
dB da 
, l’ordine di Butterworth deve essere
![\[ N \ge \frac{\log_{10}\left[(10^{A_s/10} - 1)/(10^{A_p/10} - 1)\right]}{2\log_{10}(\Omega_s/\Omega_p)} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e72721994f9cef85ce3d6b9b37366f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. L’attenuazione in dB è 
. Le due condizioni danno 
e 
. Dividendo la seconda per la prima sparisce: 
, e passando ai logaritmi si ottiene la formula. ∎
Il Chebyshev di tipo I accetta oscillazioni in banda passante, il tipo II in banda attenuata, e l’ellittico (o di Cauer) in entrambe: a parità di ordine ha la transizione più ripida possibile, ma la fase più irregolare.
La trasformazione bilineare
Per passare dal filtro analogico 
a quello digitale si sostituisce
![\[ s = \frac{2}{T}\cdot\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be56631d757b459efd8ab098b8bd801a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è il periodo di campionamento. È la regola dei trapezi applicata all’integratore 
, e trasforma una funzione razionale in un’altra funzione razionale dello stesso ordine.
Teorema. La trasformazione bilineare porta l’asse immaginario 
sul cerchio unitario, con
![\[ \omega = 2\arctan\frac{\Omega T}{2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3233b92f63efda322af84d27d97a6c1d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e il semipiano sinistro dentro il cerchio unitario. Quindi un filtro analogico stabile diventa un filtro digitale stabile.
Dimostrazione. Invertendo la formula, 
. Per numeratore e denominatore sono complessi coniugati, 
, quindi 
e 
con 
. Per 
il punto 
è più vicino a 
che a 
, quindi 
e 
: i poli finiscono dentro il cerchio. ∎
Non c’è aliasing, perché l’intero asse 
da 0 a infinito viene “schiacciato” nell’intervallo da 0 a 
. Il prezzo è la distorsione delle frequenze (warping): la relazione non è lineare, e le frequenze caratteristiche del prototipo finiscono nel posto sbagliato.
La predistorsione
Si rimedia progettando il prototipo analogico con le frequenze predistorte: per ottenere un taglio digitale a 
si usa 
. Le frequenze critiche cadono così esattamente dove servono; la forma della risposta tra una frequenza critica e l’altra viene un po’ deformata, ma per i filtri a gradino (passa-basso, passa-alto, passa-banda) non importa.
Un esempio completo
Si vuole un Butterworth del secondo ordine con taglio digitale 
(per esempio 1 kHz con campionamento a 10 kHz). Con 
la predistorsione dà 
, e il prototipo è 
. Applicando la sostituzione e ponendo 
, con 
:
![\[ H(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1} + b_2z^{-2}}{1 + a_1z^{-1} + a_2z^{-2}},\quad b_0 = b_2 = \frac{K^2}{D} \approx 0{,}0675,\ b_1 = 2b_0,\ a_1 = \frac{2(K^2 - 1)}{D} \approx -1{,}143,\ a_2 = \frac{1 - \sqrt{2}K + K^2}{D} \approx 0{,}413 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f35cc0f3e0bb7d9c6fc619eaf78724a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il guadagno in continua (
) è 
, come deve essere, e quello a 
(
) è zero, perché il numeratore 
si annulla: la bilineare porta lo zero all’infinito del prototipo esattamente alla frequenza di Nyquist. I poli hanno modulo 
: ben dentro il cerchio.
L’invarianza all’impulso
Un metodo alternativo campiona la risposta all’impulso del prototipo: ![h[n] = T\,h_a(nT)](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-271e2b57c346f2d351fdf73004f3e25f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Conserva la forma della risposta nel tempo e la relazione lineare tra le frequenze, ma la risposta in frequenza digitale è la somma delle copie di quella analogica, quindi c’è aliasing: funziona bene solo per i passa-basso e i passa-banda molto attenuati prima della frequenza di Nyquist, e non si usa per i passa-alto.
FIR o IIR?
Gli IIR raggiungono transizioni ripide con un ordine molto più basso, quindi con meno moltiplicazioni e meno ritardo: sono la scelta naturale quando la fase non conta, come in molti filtri audio, negli equalizzatori e negli anelli di controllo. I FIR hanno fase lineare esatta, sono sempre stabili e sopportano meglio la precisione finita: si preferiscono nelle comunicazioni digitali, nelle immagini e nei sistemi multirate. Gli IIR si realizzano quasi sempre come cascata di celle del secondo ordine, come quella dell’esempio (lezione sulle strutture).
