Analisi spettrale: dispersione, finestre, periodogramma e metodo di Welch
DFT di un blocco finito e dispersione spettrale dimostrata, risoluzione, dinamica e perdita a festone, zero padding con dimostrazione, periodogramma, metodo di Welch e riduzione della varianza, spettrogramma.
Calcolare lo spettro di un segnale misurato sembra facile: si prende un blocco di campioni e si calcola la FFT. Ma il risultato dipende da come si è tagliato il blocco, e su un segnale rumoroso è sorprendentemente inaffidabile. In questa lezione vediamo la dispersione spettrale con la sua dimostrazione, la risoluzione e la perdita a festone, perché aggiungere zeri non aumenta la risoluzione, il periodogramma e il metodo di Welch con la dimostrazione della riduzione della varianza, e lo spettrogramma.
La DFT di un blocco finito
Analizzando 
campioni si osserva il segnale attraverso una finestra rettangolare, e la DFT dà campioni della DTFT del segnale finestrato, nelle frequenze 
(i bin). Con frequenza di campionamento 
i bin sono distanti 
: con 1 kHz e 1000 campioni, 1 Hz.
Teorema. Per ![x[n] = e^{j\omega_0 n}](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d21a8cf95bf9c4b66b35a3b8949ce769_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, 
, la DFT vale
![\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}e^{j(\omega_0 - 2\pi k/N)n} = e^{j(N-1)\Delta_k/2}\,\frac{\sin(N\Delta_k/2)}{\sin(\Delta_k/2)},\qquad \Delta_k = \omega_0 - \frac{2\pi k}{N} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c874f079ccf56b0a66908a3e5ad22aa3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Se 
coincide con un bin, 
, la DFT è nel bin 
e zero in tutti gli altri; altrimenti è diversa da zero in tutti i bin.
Dimostrazione. È la stessa serie geometrica della media mobile (lezione sulla DTFT), di ragione 
. Se , per 
si ha 
, multiplo di 
: il seno al numeratore è nullo mentre quello al denominatore no. Per 
tutti i termini valgono 1. Se cade tra due bin, 
non è mai multiplo di e nessun termine si annulla. ∎
È la dispersione spettrale (leakage): una sinusoide pura appare come un picco circondato da una “gonna” che si estende su tutto lo spettro, scendendo lentamente (i lobi laterali della finestra rettangolare, a −13 dB il primo). Il motivo fisico è che la DFT tratta il blocco come un periodo di un segnale periodico: se il numero di periodi non è intero, alla giunzione c’è un salto, e il salto ha uno spettro largo.
Risoluzione, dinamica e perdita a festone
Le conseguenze si gestiscono con le finestre della lezione sui FIR, applicate questa volta al segnale:
- risoluzione: due sinusoidi si distinguono se sono più distanti della larghezza del lobo principale, circa
per la rettangolare e 
per Hann e Hamming. Per risolvere frequenze vicine servono blocchi lunghi; - dinamica: una sinusoide debole vicina a una forte resta nascosta nei lobi laterali di quest’ultima. Le finestre con lobi bassi (Hann, Blackman, Kaiser) permettono di vedere componenti 60-100 dB sotto;
- perdita a festone (scalloping): se la frequenza cade a metà tra due bin, il picco misurato è più basso. Con la finestra rettangolare il valore è
, cioè −3,9 dB. Le finestre a sommità piatta (flat-top) lo riducono sotto 0,01 dB e si usano per misurare ampiezze con precisione.
Aggiungere zeri non aumenta la risoluzione
Allungare il blocco con zeri prima della FFT (zero padding) produce un grafico più fitto e liscio, ma non separa due sinusoidi vicine.
Teorema. La DFT a 
punti del blocco allungato con zeri dà i campioni della stessa DTFT del blocco originale, nelle frequenze 
.
Dimostrazione. ![X'[k] = \sum_{n=0}^{N'-1}x'[n]e^{-j2\pi kn/N'} = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j(2\pi k/N')n}](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd5b978ac1a8ee2af903264f5caead6a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, perché i campioni aggiunti sono nulli; e questa è la DTFT del blocco originale calcolata in 
. ∎
La funzione campionata è sempre la stessa, con lo stesso lobo principale: lo zero padding interpola, utile per leggere meglio la posizione di un picco, ma l’informazione è quella degli campioni misurati.
Il periodogramma e il metodo di Welch
Per un segnale aleatorio, come il rumore, interessa la densità spettrale di potenza (lezione sui processi aleatori di Teoria dei segnali). La stima immediata è il periodogramma ![|X[k]|^2/N](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-81a4dad3143ef09b2934cd789e76b2a0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Ha un difetto serio: la sua deviazione standard in ogni bin è dell’ordine del valore stesso, e non diminuisce allungando il blocco. Con più campioni si hanno più bin, ma ciascuno resta altrettanto rumoroso: lo spettro stimato di un rumore bianco appare come un’erba fitta invece che come una linea piatta.
Il metodo di Welch divide il segnale in 
segmenti (spesso sovrapposti al 50 %), applica una finestra a ciascuno, ne calcola il periodogramma e fa la media.
Teorema. Se i periodogrammi sono indipendenti e hanno la stessa varianza 
, la loro media ha varianza 
.
Dimostrazione. È lo stesso risultato della media di 
letture (lezione sull’incertezza di Misure elettriche): 
. ∎
Il prezzo è la risoluzione: ogni segmento è volte più corto. È il compromesso fondamentale dell’analisi spettrale: risoluzione contro varianza, a parità di durata del segnale. Gli analizzatori di spettro numerici fanno esattamente questo, con la media di molte FFT.
Lo spettrogramma
Per i segnali che cambiano nel tempo, come la voce o la musica, si calcola la DFT su finestre successive e si dispongono i risultati uno accanto all’altro: è lo spettrogramma (trasformata di Fourier a tempo breve, STFT). Una finestra lunga dà buona risoluzione in frequenza ma confonde gli eventi rapidi; una corta il contrario. Il prodotto delle due risoluzioni non può scendere sotto un limite, come nel principio di indeterminazione: 
è almeno dell’ordine di 1. Le trasformate wavelet scelgono finestre lunghe per le basse frequenze e corte per le alte, adattandosi a molti segnali naturali.
