Realizzazione: forme canoniche, forma modale e cancellazioni
Problema della realizzazione, forma canonica di raggiungibilità con dimostrazione, matrice compagna, raggiungibilità dimostrata, forma di osservabilità per dualità, forma modale con i fratti semplici, cancellazioni e modi nascosti.
Spesso di un sistema si conosce la funzione di trasferimento, ricavata da misure o da un progetto nel dominio della frequenza, e serve una rappresentazione di stato: per simularlo, per realizzarlo in un circuito o in un programma, per progettare una retroazione dello stato. È il problema della realizzazione. In questa lezione vediamo la forma canonica di raggiungibilità con la dimostrazione, perché è sempre raggiungibile e quando è osservabile, la forma duale, la forma modale con i fratti semplici, e cosa succede quando ci sono cancellazioni.
Il problema
Data una funzione di trasferimento razionale 
, si cercano 
tali che 
. Se 
è propria ma non strettamente (numeratore e denominatore dello stesso grado), si divide prima: 
e si realizza la parte restante, strettamente propria. Le realizzazioni sono infinite, perché ogni cambiamento di coordinate ne produce un’altra (lezione sulle rappresentazioni); le più utili sono le forme canoniche.
La forma canonica di raggiungibilità
Si consideri, per fissare le idee, un sistema del terzo ordine:
![\[ G(s) = \frac{b_2s^2 + b_1s + b_0}{s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-99b5b669a032ba3cbdc1e56dd740c41c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Teorema. Una realizzazione di è
![\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \end{pmatrix},\quad D = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fd38eb21d2f35084867455985849fdde_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Si introduce una variabile ausiliaria 
definita da 
, cioè 
. Allora 
, cioè 
. Scegliendo come stato 
, 
, 
si ha 
, 
e, dall’equazione differenziale, 
: sono le righe di 
e 
. L’uscita 
dà 
. ∎
La matrice si chiama matrice compagna: il suo polinomio caratteristico ha come coefficienti proprio gli 
dell’ultima riga. La realizzazione è anche una ricetta pratica: una catena di 
integratori con retroazioni costanti, come si faceva con i calcolatori analogici e come si scrive in un programma di simulazione.
Teorema. La forma canonica di raggiungibilità è sempre raggiungibile.
Dimostrazione. Si calcola 
: 
, 
è l’ultima colonna di , 
, e 
. La matrice
![\[ \mathcal{R} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -a_2 \\ 1 & -a_2 & a_2^2 - a_1 \end{pmatrix} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92d4fbfb23d2bb4f63113f282a010dee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è triangolare rispetto all’antidiagonale con tutti 1 su di essa, quindi ha determinante 
e rango pieno, qualunque siano i coefficienti. ∎
L’osservabilità invece non è garantita: la forma canonica di raggiungibilità è osservabile se e solo se numeratore e denominatore non hanno radici comuni. Se c’è una cancellazione, la realizzazione ha più stati del necessario, e la parte in più è non osservabile.
La forma duale
Trasponendo la forma canonica di raggiungibilità (
, con 
al posto di e 
al posto di ) si ottiene la forma canonica di osservabilità. La funzione di trasferimento non cambia, perché è uno scalare e coincide con la sua trasposta: 
. Per la dualità (lezione sull’osservabilità) questa forma è sempre osservabile, ed è raggiungibile solo se non ci sono cancellazioni.
La forma modale
Se i poli 
sono distinti, la scomposizione in fratti semplici
![\[ G(s) = \sum_{i=1}^{n}\frac{r_i}{s - p_i} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dfa86b94fb11a05deababb90d26c57ea_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
suggerisce subito una realizzazione diagonale: 
per ogni 
, e 
. Ogni stato è un modo, e i sottosistemi lavorano in parallelo. Ogni modo è raggiungibile (l’ingresso entra in tutti) e osservabile se e solo se il suo residuo 
è diverso da zero: un residuo nullo è proprio un polo cancellato.
Esempio. Per 
i residui sono 
e 
, quindi
![\[ \dot{x}_1 = -x_1 + u,\quad \dot{x}_2 = -2x_2 + u,\quad y = 2x_1 - x_2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1c22a4bfc81b5e04eb1f525bf56eb64_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La forma canonica di raggiungibilità della stessa funzione ha 
(la matrice dell’esempio nella lezione sulla soluzione), 
e 
. Le due realizzazioni sono legate da un cambiamento di coordinate, quello che diagonalizza .
Le cancellazioni
Si cambi il numeratore in 
: 
. La forma canonica con 
ha due stati ed è raggiungibile, ma la funzione di trasferimento è del primo ordine: la realizzazione non è minima, e per il teorema della lezione sull’osservabilità la parte in più deve essere non osservabile. Infatti 
ha rango 1. Il modo 
c’è, ma l’uscita non lo vede.
Qui il modo nascosto è stabile e non fa danni. Se fosse instabile, e se il sistema fosse costruito davvero così (in un circuito, o come serie di un regolatore e di un processo), avremmo un sistema che sembra perfetto dalla funzione di trasferimento e che invece diverge. La morale della teoria della realizzazione: la funzione di trasferimento descrive il comportamento ingresso-uscita, non il sistema; per sapere tutto serve la rappresentazione di stato, o la certezza che sia minima.
