Conduzione del calore: legge di Fourier e resistenza termica
Legge di Fourier e conducibilità dei materiali, parete piana con dimostrazione, resistenza termica, parete composta e trasmittanza con esempio, cilindro, raggio critico, resistenza di contatto.
La termodinamica dice quanto calore si scambia, la trasmissione del calore dice con che velocità. I meccanismi sono tre: conduzione, convezione e irraggiamento. In questa lezione studiamo la conduzione, il passaggio di calore attraverso un materiale fermo, introduciamo la resistenza termica, che rende i problemi termici simili a quelli dei circuiti elettrici, e la applichiamo a pareti, tubi e isolanti.
La legge di Fourier
Il flusso di calore per unità di area è proporzionale al gradiente di temperatura e va dal caldo al freddo:
![\[ \mathbf{q} = -k\,\nabla T \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0db61d9605fd200841a38dfef84c5eb0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è la conducibilità termica, in W/(m·K). Ha valori molto diversi:
| Materiale | in W/(m·K) |
|---|---|
| rame | 400 |
| alluminio | 237 |
| acciaio | 15-50 |
| vetro | 1 |
| mattone | 0,5-0,9 |
| acqua | 0,6 |
| lana di roccia, polistirene | 0,03-0,04 |
| aria ferma | 0,026 |
Gli isolanti funzionano intrappolando aria ferma in piccole celle, perché l’aria conduce pochissimo finché non si muove.
La parete piana
Teorema. In una parete piana di spessore 
, area 
e conducibilità costante, in regime stazionario, la temperatura varia linearmente tra le due facce e il calore che la attraversa è
![\[ \dot Q = \frac{k A}{L}\,(T_1 - T_2) = \frac{T_1 - T_2}{R},\qquad R = \frac{L}{kA} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7ca499141556c28ceaf48e55ac1f58b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. In regime stazionario e senza generazione interna, il calore che entra in ogni strato sottile è uguale a quello che esce, quindi il flusso 
è lo stesso a ogni profondità 
. Per la legge di Fourier 
è costante: la temperatura è lineare, e integrando da 0 a si ha 
. Moltiplicando per l’area si ottiene l’enunciato. ∎
La formula è la legge di Ohm termica: la differenza di temperatura è la “tensione”, il flusso di calore la “corrente”, 
la resistenza termica in K/W. Ne seguono tutte le regole dei circuiti: le resistenze di strati in serie si sommano, quelle di percorsi in parallelo si combinano come conduttanze.
La parete composta
Una parete di casa è fatta di strati diversi, e su ciascuna faccia c’è uno scambio per convezione con l’aria, descritto da una resistenza 
(prossima lezione).
Per metro quadrato di parete:
![\[ R_{tot} = \frac{1}{h_i} + \frac{L_1}{k_1} + \frac{L_2}{k_2} + \frac{1}{h_e},\qquad U = \frac{1}{R_{tot}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9f8cfa9ccb9269b65661a03d7a8262eb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è la trasmittanza, in W/(m²·K), il dato che le norme sull’efficienza energetica degli edifici limitano.
Esempio. Muro di mattoni da 25 cm (
), coefficienti 
e 
W/(m²·K): 
m²·K/W, 
W/(m²·K). Aggiungendo 8 cm di isolante (
, 
): 
, 
W/(m²·K). Il calore perso si riduce di oltre cinque volte: con 20 °C di differenza, da 38 a 7 W per ogni metro quadrato. Si vede anche dal profilo di temperatura: quasi tutto il salto avviene nell’isolante, che è la resistenza più grande della serie.
Il cilindro e l’isolamento dei tubi
Per uno strato cilindrico (un tubo o il suo rivestimento) tra i raggi 
e 
, lungo :
![\[ R = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi kL} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-962d10c5511314ef383e354b4d798bb8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. In regime stazionario lo stesso calore 
attraversa ogni superficie cilindrica di raggio 
, di area 
: 
. Separando le variabili, 
, e integrando da a : 
. ∎
La dipendenza logaritmica ha una conseguenza curiosa: aggiungere isolante aumenta la resistenza di conduzione, ma aumenta anche la superficie esterna che scambia per convezione. Per tubi e cavi molto sottili, sotto un raggio critico 
(circa 1 cm per un isolante plastico in aria ferma), un rivestimento sottile fa disperdere più calore invece che meno. Per i fili elettrici è un vantaggio: la guaina aiuta a raffreddarli.
La resistenza di contatto e la generazione interna
Due superfici solide a contatto non si toccano mai perfettamente: tra le asperità resta aria, che crea una resistenza di contatto. Nell’elettronica è importantissima: tra un componente e il suo dissipatore si interpone una pasta o un pad termico, che riempie i vuoti e riduce questa resistenza anche di dieci volte.
Quando il calore è generato dentro il materiale (una resistenza percorsa da corrente, un avvolgimento, un chip) il profilo di temperatura non è più lineare ma parabolico, con il massimo dove il calore fatica di più a uscire. È per questo che il punto più caldo di un componente, la giunzione, è all’interno, e non si può misurare direttamente: si calcola con le resistenze termiche, come vedremo nella prossima lezione.
