Fluidi negli impianti: Bernoulli, perdite di carico e pompe

Gli impianti termici muovono fluidi: acqua nei circuiti di riscaldamento e raffreddamento, aria nei canali di ventilazione, liquidi refrigeranti nei server. Per dimensionare tubi, pompe e ventilatori servono pochi principi: la statica dei fluidi, la conservazione della massa, l’equazione di Bernoulli e le perdite di carico. In questa lezione li ricaviamo, collegandoli al bilancio di energia della prima lezione.

La statica dei fluidi

In un fluido fermo la pressione cresce con la profondità (legge di Stevino):

Dimostrazione. Si consideri una colonnina verticale di fluido di sezione e altezza . È in equilibrio: la forza di pressione sotto deve sostenere quella sopra più il peso, , cioè . Con costante si integra. ∎

Esempio. Dieci metri d’acqua producono kPa, quasi un’atmosfera: per questo un impianto di riscaldamento in un condominio di dieci piani lavora a qualche bar alla base.

La conservazione della massa

Per un liquido in un condotto, in regime stazionario, la portata volumetrica è la stessa in ogni sezione: . Dove il condotto si stringe il fluido accelera, dove si allarga rallenta.

L’equazione di Bernoulli

Teorema. Lungo un condotto, per un liquido ideale (incomprimibile, senza attriti e senza scambi di calore o lavoro), in regime stazionario:

Dimostrazione. Si applica il bilancio di energia dei sistemi aperti (prima lezione) tra due sezioni, con e : . Per un liquido incomprimibile , e senza attriti né calore l’energia interna non cambia: . Sostituendo e moltiplicando per si ottiene l’enunciato. ∎

I tre termini sono pressione statica, pressione dinamica ed energia potenziale per unità di volume. Divisi per diventano altezze (in metri di colonna di fluido), un modo molto usato di esprimerli negli impianti.

Il tubo di Venturi. Nel restringimento la velocità aumenta e quindi, per Bernoulli, la pressione diminuisce. Misurando la differenza di pressione tra le due sezioni si ricava la velocità, e quindi la portata: . È uno dei misuratori di portata più usati; lo stesso principio spiega il tubo di Pitot che misura la velocità degli aerei e il funzionamento dei vecchi carburatori.

Le perdite di carico

Nei fluidi reali l’attrito con le pareti e la turbolenza dissipano energia, e la somma di Bernoulli diminuisce lungo il percorso. La perdita in un tubo diritto è data dalla formula di Darcy-Weisbach:

dove è il fattore d’attrito. Dipende dal numero di Reynolds :

• moto laminare (): , il fluido scorre a strati ordinati;
• moto turbolento (): dipende anche dalla rugosità del tubo, si legge sul diagramma di Moody, ed è tipicamente tra 0,015 e 0,04.

Curve, valvole, raccordi aggiungono perdite concentrate, , con coefficienti tabulati.

Esempio. Acqua a 2 m/s in un tubo da 5 cm di diametro, lungo 100 m. Con m²/s, : moto turbolento, . La perdita è kPa, cioè circa 8 m di colonna d’acqua. La portata è litri al secondo, e la potenza idraulica che la pompa deve fornire per compensare la perdita è W (di più quella elettrica, divisa per il rendimento della pompa).

La scelta della pompa

La pressione persa cresce con il quadrato della velocità, quindi della portata: l’impianto ha una curva caratteristica parabolica. La pompa ha la sua curva, con la pressione che diminuisce all’aumentare della portata. Il punto di funzionamento è l’intersezione delle due, esattamente come la retta di carico e la caratteristica di un transistor nella lezione sugli amplificatori. Raddoppiare il diametro dei tubi, a parità di portata, riduce la velocità di quattro volte e la perdita di circa 32 volte: per questo nei grandi impianti si preferiscono tubi grandi e pompe piccole, che consumano meno per tutta la vita dell’impianto.