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Geometria e Algebra

Matrici: operazioni, prodotto righe per colonne e matrice inversa

Perché il prodotto righe per colonne è la composizione, proprietà e non commutatività, matrici speciali e trasposta, inversa 2×2 e calcolo con Gauss-Jordan.

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Una matrice è una tabella di numeri, ma è soprattutto un modo compatto di scrivere trasformazioni e sistemi. In questa lezione vediamo le operazioni tra matrici, perché il prodotto righe per colonne è definito proprio così, le matrici speciali e come si calcola l’inversa.

Definizioni

Una matrice m\times n ha m righe e n colonne; l’elemento in riga i e colonna j si indica con a_{ij}. Se m = n la matrice è quadrata di ordine n. Le matrici m\times n a coefficienti reali formano l’insieme M_{m,n}(\mathbb R).

Somma e prodotto per uno scalare si fanno elemento per elemento, e hanno le stesse proprietà dei vettori: M_{m,n}(\mathbb R) è uno spazio vettoriale di dimensione mn.

Il prodotto righe per colonne

Se A è m\times n e B è n\times p, il prodotto AB è la matrice m\times p con

    \[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj} \]

cioè il prodotto scalare della riga i di A per la colonna j di B. Il numero di colonne di A deve essere uguale al numero di righe di B.

    \[ \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 5 + 2\cdot 7 & 1\cdot 6 + 2\cdot 8\\ 3\cdot 5 + 4\cdot 7 & 3\cdot 6 + 4\cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22\\ 43 & 50 \end{pmatrix} \]

Perché è definito così

Una matrice A trasforma un vettore \mathbf x nel vettore A\mathbf x. Se prima applichiamo B e poi A, otteniamo A(B\mathbf x). Scrivendo le componenti:

    \[ \big(A(B\mathbf x)\big)_i = \sum_k a_{ik}\,(B\mathbf x)_k = \sum_k a_{ik}\sum_j b_{kj}x_j = \sum_j\Big(\sum_k a_{ik}b_{kj}\Big)x_j \]

Il coefficiente tra parentesi è esattamente (AB)_{ij}: il prodotto di matrici è la composizione delle trasformazioni. Da qui segue subito che il prodotto è associativo, (AB)C = A(BC), perché la composizione di funzioni lo è.

Il prodotto non è commutativo

In generale AB \ne BA, anche quando entrambi esistono. Ruotare di 90° e poi riflettere rispetto all’asse x non dà lo stesso risultato di riflettere e poi ruotare. Altre differenze rispetto ai numeri:

  • AB = 0 non implica A = 0 o B = 0: per esempio \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}^2 = 0;
  • da AB = AC non si può “semplificare” A, a meno che A sia invertibile.

Matrici speciali

  • Identità I_n: 1 sulla diagonale, 0 altrove. AI = IA = A.
  • Diagonale: zeri fuori dalla diagonale. Si moltiplicano elemento per elemento sulla diagonale, e le loro potenze sono facilissime.
  • Triangolare superiore o inferiore: zeri sotto (o sopra) la diagonale. La forma a scala del metodo di Gauss è triangolare superiore.
  • Trasposta A^T: righe e colonne scambiate, (A^T)_{ij} = a_{ji}. Vale (AB)^T = B^T A^T (attenzione all’ordine).
  • Simmetrica: A^T = A. Compaiono ovunque, dalle matrici di covarianza alle matrici di rigidezza delle strutture, e hanno proprietà speciali che vedremo con il teorema spettrale.

La matrice inversa

Una matrice quadrata A è invertibile se esiste A^{-1} con AA^{-1} = A^{-1}A = I. Se esiste è unica, e il sistema A\mathbf x = \mathbf b ha l’unica soluzione \mathbf x = A^{-1}\mathbf b.

Valgono (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} e (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero (lezione sul determinante), cioè se e solo se il suo rango è n.

Il caso 2×2. Se ad - bc \ne 0:

    \[ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} \]

Si verifica moltiplicando: il prodotto dà (ad - bc)\,I, diviso per ad - bc.

Calcolo dell’inversa con Gauss-Jordan

Si affianca l’identità ad A e si applicano le operazioni elementari fino a trasformare A in I: a destra compare A^{-1}.

    \[ \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0\\ 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 - \frac52 R_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0\\ 0 & \frac12 & -\frac52 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow[R_1 - R_2]{2R_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 2 & 0 & 6 & -2\\ 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow{\frac12 R_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -1\\ 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right) \]

Quindi A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1\\ -5 & 2 \end{pmatrix}, come conferma la formula 2×2 con ad - bc = 1.

Perché funziona. Ogni operazione elementare equivale a moltiplicare a sinistra per una matrice elementare E_k. Se E_k\cdots E_1 A = I, allora il prodotto E_k\cdots E_1 è proprio A^{-1}, e applicato a I dà A^{-1}. Se durante il procedimento una riga di sinistra diventa tutta zero, A non è invertibile.

Un consiglio pratico

Per risolvere A\mathbf x = \mathbf b al computer non si calcola mai A^{-1}: costa circa tre volte di più dell’eliminazione di Gauss ed è numericamente meno preciso. L’inversa è uno strumento teorico, utile per scrivere le formule; nei programmi si usa A\backslash b in MATLAB o numpy.linalg.solve.

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