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Geometria e Algebra

Geometria analitica del piano: rette e coniche

Rette in forma parametrica e cartesiana, parallelismo e distanza punto-retta, ellisse, iperbole e parabola come luoghi geometrici, classificazione delle coniche con gli autovalori.

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La geometria analitica traduce i problemi geometrici in equazioni: un punto è una coppia di numeri, una retta un’equazione di primo grado, una conica un’equazione di secondo grado. In questa lezione vediamo le rette del piano (equazioni, parallelismo, distanze) e le coniche, con le loro definizioni come luoghi geometrici e la classificazione che usa gli autovalori.

Le rette del piano

Una retta si può descrivere in due modi.

  • Forma parametrica: passa per P_0 = (x_0, y_0) con vettore direzione \mathbf d = (l, m): (x, y) = (x_0, y_0) + t\,(l, m).
  • Forma cartesiana: ax + by + c = 0. Il vettore \mathbf n = (a, b) è perpendicolare alla retta.

Perché (a, b) è normale

Se P_1 e P_2 stanno sulla retta, ax_1 + by_1 + c = 0 e ax_2 + by_2 + c = 0. Sottraendo, a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0, cioè \mathbf n\cdot\overrightarrow{P_1P_2} = 0: il vettore (a, b) è ortogonale a ogni vettore della retta. Un vettore direzione è quindi (-b, a), e il coefficiente angolare è m = -a/b.

Posizione reciproca. Due rette sono parallele se i loro vettori normali sono proporzionali, perpendicolari se i normali sono ortogonali (a_1a_2 + b_1b_2 = 0, cioè, con i coefficienti angolari, m_1 m_2 = -1). Altrimenti si incontrano in un punto, che si trova risolvendo il sistema: è la lezione sui sistemi lineari vista in geometria.

La distanza di un punto da una retta

    \[ d(Q, r) = \frac{|a x_Q + b y_Q + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Dimostrazione. Sia P_0 un punto qualsiasi della retta. La distanza è il modulo della proiezione di \overrightarrow{P_0Q} sulla direzione normale \mathbf n:

    \[ d = \frac{|\overrightarrow{P_0Q}\cdot\mathbf n|}{|\mathbf n|} = \frac{|a(x_Q - x_0) + b(y_Q - y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|ax_Q + by_Q + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

perché -ax_0 - by_0 = c. Esempio: la distanza di (3, 1) da 4x - 3y + 1 = 0 è |12 - 3 + 1|/5 = 2.

Le coniche come luoghi geometrici

Ellisse, iperbole e parabola con fuochi, direttrice e la proprietà che le definisce
Ellisse: la somma delle distanze da due fuochi è costante. Iperbole: è costante il valore assoluto della differenza. Parabola: ogni punto è equidistante dal fuoco F e dalla direttrice d.

Circonferenza. I punti a distanza r dal centro (x_0, y_0): (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2.

Ellisse. I punti con PF_1 + PF_2 = 2a. Con i fuochi in (\pm c, 0) e b^2 = a^2 - c^2:

    \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

L’eccentricità e = c/a è compresa tra 0 (circonferenza) e 1. L’orbita terrestre ha e \approx 0{,}017, quasi un cerchio; la cometa di Halley e \approx 0{,}97.

Iperbole. I punti con |PF_1 - PF_2| = 2a. Con i fuochi in (\pm c, 0) e b^2 = c^2 - a^2:

    \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad \text{asintoti } y = \pm\frac ba x \]

Il sistema di navigazione LORAN usava proprio le iperboli: la differenza dei tempi di arrivo dei segnali di due stazioni colloca il ricevitore su un’iperbole con fuochi nelle stazioni.

Parabola. I punti equidistanti dal fuoco F = (0, p) e dalla direttrice y = -p:

    \[ x^2 + (y - p)^2 = (y + p)^2 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{x^2}{4p} \]

La sua proprietà ottica è famosa: i raggi paralleli all’asse vengono riflessi tutti nel fuoco. Per questo le antenne paraboliche hanno il ricevitore (LNB) nel fuoco, e i fari delle auto hanno la lampadina nel fuoco di uno specchio parabolico.

Dimostrazione: l’equazione dell’ellisse

Con F_{1,2} = (\mp c, 0), la condizione è \sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a. Isolando una radice e quadrando:

    \[ (x + c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2 \quad\Rightarrow\quad a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = a^2 - cx \]

Quadrando di nuovo e semplificando: (a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2). Con b^2 = a^2 - c^2 e dividendo per a^2b^2 si ottiene l’equazione canonica.

Classificazione delle coniche con gli autovalori

Un’equazione generale di secondo grado

    \[ ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \]

si scrive con una matrice simmetrica: la parte quadratica è \mathbf x^TA\mathbf x con A = \begin{pmatrix}a & b\\ b & c\end{pmatrix}. Per il teorema spettrale esiste una rotazione degli assi che rende A diagonale: nel nuovo riferimento il termine misto xy sparisce e la parte quadratica diventa \lambda_1x'^2 + \lambda_2y'^2. Il tipo di conica dipende dai segni degli autovalori, cioè dal determinante:

  • \det A = ac - b^2 \gt 0 (autovalori dello stesso segno): ellisse;
  • \det A \lt 0 (segni opposti): iperbole;
  • \det A = 0 (un autovalore nullo): parabola.

(A meno dei casi degeneri, come coppie di rette o un punto, che si riconoscono dal determinante della matrice 3×3 completa.)

Esempio. 5x^2 + 4xy + 2y^2 = 6. A = \begin{pmatrix}5 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}, polinomio caratteristico \lambda^2 - 7\lambda + 6, autovalori 6 e 1. Nel riferimento degli autovettori, (2, 1)/\sqrt5 per 6 e (-1, 2)/\sqrt5 per 1, l’equazione è 6x'^2 + y'^2 = 6, cioè x'^2 + y'^2/6 = 1: un’ellisse con semiassi 1 e \sqrt6, ruotata di \arctan(1/2) \approx 26{,}6°.

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