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Geometria e Algebra

Autovalori, autovettori e diagonalizzazione

Definizione e significato geometrico, polinomio caratteristico, diagonalizzazione e molteplicità, applicazioni a potenze di matrici, sistemi dinamici, circuiti e Fibonacci.

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Una matrice trasforma i vettori ruotandoli e allungandoli, ma per quasi ogni matrice esistono direzioni speciali che non vengono ruotate: i vettori lungo quelle direzioni vengono solo moltiplicati per un numero. Sono gli autovettori, e il numero è l’autovalore. Trovarli vuol dire scegliere il sistema di riferimento in cui la trasformazione diventa semplicissima. È un’idea che regge la meccanica delle vibrazioni, la stabilità dei sistemi di controllo, la compressione dei dati e perfino l’algoritmo PageRank di Google.

Definizione

Sia A una matrice n\times n. Un vettore non nullo \mathbf v è un autovettore di A con autovalore \lambda se

    \[ A\mathbf v = \lambda\,\mathbf v \]

Il cerchio unitario trasformato in un'ellisse: gli autovettori mantengono la direzione
La matrice A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix} trasforma il cerchio in un’ellisse. Il vettore \mathbf v_1 lungo la bisettrice viene solo allungato di 3, \mathbf v_2 resta uguale (autovalore 1); un vettore generico \mathbf w invece cambia direzione. Gli autovettori sono gli assi dell’ellisse.

Gli autovettori relativi a uno stesso \lambda, insieme al vettore nullo, formano un sottospazio, l’autospazio V_\lambda = \ker(A - \lambda I).

Come si trovano: il polinomio caratteristico

A\mathbf v = \lambda\mathbf v si riscrive (A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0. Questo sistema omogeneo ha una soluzione non nulla se e solo se la matrice non è invertibile, cioè

    \[ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = 0 \]

p(\lambda) è un polinomio di grado n, il polinomio caratteristico. Le sue radici sono gli autovalori; per ognuno, gli autovettori si trovano risolvendo (A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0.

Esempio. Per la matrice della figura:

    \[ \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1\\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) \]

  • \lambda = 3: (A - 3I)\mathbf v = \mathbf 0 dà -x + y = 0, autovettori t\,(1, 1).
  • \lambda = 1: (A - I)\mathbf v = \mathbf 0 dà x + y = 0, autovettori t\,(1, -1).

Due controlli utili: la somma degli autovalori è la traccia (somma della diagonale, qui 2 + 2 = 4 = 3 + 1) e il loro prodotto è il determinante (4 - 1 = 3 = 3\cdot 1).

Matrici senza autovalori reali. La rotazione di 90°, \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, ha polinomio caratteristico \lambda^2 + 1: nessuna direzione del piano resta ferma sotto una rotazione, e gli autovalori sono complessi, \pm i. Per questo in molti corsi si lavora sui numeri complessi, dove ogni polinomio ha radici.

Diagonalizzazione

A è diagonalizzabile se esiste una base di \mathbb R^n fatta di autovettori. In quella base la matrice diventa diagonale, con gli autovalori sulla diagonale:

    \[ P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} \]

dove P ha come colonne gli autovettori. Infatti AP ha come colonne A\mathbf v_i = \lambda_i\mathbf v_i, cioè AP = PD.

Quando è diagonalizzabile

Autovettori di autovalori distinti sono indipendenti. Lo dimostriamo per due: se a\mathbf v_1 + b\mathbf v_2 = \mathbf 0, applicando A si ottiene a\lambda_1\mathbf v_1 + b\lambda_2\mathbf v_2 = \mathbf 0; sottraendo \lambda_2 volte la prima, a(\lambda_1 - \lambda_2)\mathbf v_1 = \mathbf 0, quindi a = 0 (perché \lambda_1 \ne \lambda_2 e \mathbf v_1 \ne \mathbf 0), e poi b = 0. Per k autovettori si ragiona allo stesso modo per induzione.

Ne segue: se A ha n autovalori reali distinti, è diagonalizzabile. Se ci sono autovalori ripetuti bisogna controllare: per ogni autovalore la molteplicità geometrica (dimensione dell’autospazio) deve essere uguale alla molteplicità algebrica (quante volte è radice del polinomio). Il controesempio classico è \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}: autovalore 1 doppio, ma un solo autovettore (1, 0) a meno di multipli. Non è diagonalizzabile.

A che cosa serve

Potenze di matrici. Se A = PDP^{-1}, allora A^k = PD^kP^{-1}, e D^k si calcola elevando i numeri sulla diagonale. Per la matrice della figura A^{10} richiede solo 3^{10} e 1^{10}.

Sistemi dinamici discreti. In \mathbf x_{k+1} = A\mathbf x_k la componente lungo l’autovettore \mathbf v_i viene moltiplicata per \lambda_i a ogni passo. Se tutti gli autovalori hanno modulo minore di 1 il sistema tende a zero (è stabile), se uno ha modulo maggiore di 1 esplode. I filtri digitali IIR e i controllori digitali si progettano proprio guardando dove stanno gli autovalori.

Equazioni differenziali. Il sistema \dot{\mathbf x} = A\mathbf x, che descrive per esempio un circuito RLC o due masse collegate da molle, nella base degli autovettori si spezza in n equazioni indipendenti \dot y_i = \lambda_i y_i, con soluzioni e^{\lambda_i t}. Gli autovalori sono i “modi” del sistema: per un circuito sono i poli, e la loro parte reale dice se il circuito è stabile.

Fibonacci. La successione F_{k+1} = F_k + F_{k-1} si scrive con la matrice \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, che ha autovalori \varphi = (1 + \sqrt5)/2 \approx 1{,}618 e (1 - \sqrt5)/2. Diagonalizzando si ottiene la formula di Binet, F_k = (\varphi^k - (1 - \varphi)^k)/\sqrt5, e si capisce perché il rapporto tra due termini consecutivi tende alla sezione aurea.

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