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Teoria dei Sistemi

Esponenziale di matrice, formula di Lagrange e modi naturali

Definizione e proprietà dell'esponenziale di matrice, formula di Lagrange dimostrata, evoluzione libera e forzata, modi per autovalori reali, complessi e multipli, calcolo con Laplace, esempio completo.

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Un sistema lineare stazionario \dot{x} = Ax + Bu si può risolvere esattamente, per qualsiasi ingresso. La soluzione si scrive con l’esponenziale di matrice, e la sua struttura rivela i modi naturali del sistema: le forme elementari di movimento di cui ogni evoluzione è una combinazione. In questa lezione definiamo l’esponenziale di matrice, dimostriamo la formula di Lagrange, vediamo i modi per autovalori reali, complessi e multipli, il calcolo con la trasformata di Laplace e un esempio completo.

L’esponenziale di matrice

Per uno scalare, \dot{x} = ax ha soluzione x(t) = e^{at}x_0. Per le matrici si definisce allo stesso modo, con la serie

    \[ e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \dots \]

che converge per ogni matrice quadrata e ogni t. Derivando termine a termine si ha \frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}, e inoltre e^{A\cdot 0} = I e e^{A(t+s)} = e^{At}e^{As}. Attenzione: e^{A+B} = e^A e^B vale solo se A e B commutano.

La formula di Lagrange

Teorema. La soluzione di \dot{x} = Ax + Bu con x(0) = x_0 è

    \[ x(t) = e^{At}x_0 + \int_0^t e^{A(t-\tau)}B\,u(\tau)\,d\tau \]

Dimostrazione. Si moltiplica l’equazione a sinistra per e^{-At}: e^{-At}\dot{x} - e^{-At}Ax = e^{-At}Bu. Il membro sinistro è la derivata di e^{-At}x(t), perché \frac{d}{dt}e^{-At} = -Ae^{-At} = -e^{-At}A (A commuta con il proprio esponenziale). Integrando da 0 a t:

    \[ e^{-At}x(t) - x_0 = \int_0^t e^{-A\tau}B\,u(\tau)\,d\tau \]

e moltiplicando a sinistra per e^{At} si ottiene la formula. La soluzione è unica perché l’equazione è lineare con coefficienti costanti. ∎

Il primo termine è l’evoluzione libera, dovuta alla sola condizione iniziale; il secondo l’evoluzione forzata, dovuta al solo ingresso, ed è un integrale di convoluzione con la risposta all’impulso dello stato e^{At}B. L’uscita si ottiene moltiplicando per C e aggiungendo Du. È la stessa struttura della convoluzione vista nella lezione sui sistemi LTI di Teoria dei segnali.

I modi naturali

Se A è diagonalizzabile, A = V\Lambda V^{-1} con \Lambda diagonale degli autovalori e V matrice degli autovettori. Allora A^k = V\Lambda^k V^{-1} e, sommando la serie,

    \[ e^{At} = V\,e^{\Lambda t}\,V^{-1},\qquad e^{\Lambda t} = \mathrm{diag}\left(e^{\lambda_1 t}, \dots, e^{\lambda_n t}\right) \]

Ogni elemento di e^{At} è quindi una combinazione delle funzioni e^{\lambda_i t}: i modi del sistema. Se lo stato iniziale è un autovettore v_i, l’evoluzione libera resta sempre lungo quella direzione, x(t) = e^{\lambda_i t}v_i.

Modi naturali di un sistema lineare per diversi tipi di autovalori
Un autovalore reale negativo dà un esponenziale che si smorza; una coppia complessa con parte reale negativa un’oscillazione smorzata; un autovalore doppio senza abbastanza autovettori il modo t per esponenziale; un autovalore positivo un esponenziale che cresce.

I casi possibili sono:

  • autovalore reale \lambda: modo e^{\lambda t}, che si smorza se \lambda \lt 0 e diverge se \lambda \gt 0;
  • coppia complessa \sigma \pm j\omega: due modi complessi coniugati che, combinati, danno le funzioni reali e^{\sigma t}\cos\omega t e e^{\sigma t}\sin\omega t: un’oscillazione di pulsazione \omega, smorzata o amplificata secondo il segno di \sigma;
  • autovalore multiplo con meno autovettori indipendenti della sua molteplicità: A non è diagonalizzabile, si usa la forma di Jordan, e compaiono i modi t\,e^{\lambda t}, t^2e^{\lambda t}, e così via. Per \lambda \lt 0 si smorzano comunque, perché l’esponenziale vince sulla potenza; per \lambda = 0 danno rampe, come nel doppio integratore.

Il calcolo con la trasformata di Laplace

Trasformando \dot{x} = Ax + Bu si ha sX - x_0 = AX + BU, cioè X(s) = (sI - A)^{-1}x_0 + (sI - A)^{-1}BU(s). Confrontando con la formula di Lagrange:

    \[ e^{At} = \mathcal{L}^{-1}\left\{(sI - A)^{-1}\right\},\qquad G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D \]

dove G(s) è la funzione di trasferimento. Poiché (sI - A)^{-1} = \mathrm{adj}(sI - A)/\det(sI - A), i poli di G(s) sono tra gli autovalori di A: lo sono tutti, a meno di cancellazioni (lezione sull’osservabilità).

Un esempio completo

Sia A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}. Il polinomio caratteristico è \det(sI - A) = s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2), con autovalori -1 e -2. Si calcola

    \[ (sI - A)^{-1} = \frac{1}{(s+1)(s+2)}\begin{pmatrix} s + 3 & 1 \\ -2 & s \end{pmatrix} \]

e si scompone ogni elemento in fratti semplici: per esempio (s + 3)/((s+1)(s+2)) = 2/(s+1) - 1/(s+2). Antitrasformando:

    \[ e^{At} = \begin{pmatrix} 2e^{-t} - e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t} + 2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{pmatrix} \]

Si verifica subito che per t = 0 si ottiene l’identità. Ogni elemento contiene solo i modi e^{-t} ed e^{-2t}: qualunque condizione iniziale si esaurisce con due esponenziali decrescenti, il più lento dei quali ha costante di tempo 1. Il modo dominante è quello con la parte reale meno negativa, che sopravvive più a lungo e decide i tempi di assestamento.

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