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Teoria dei Sistemi

Sistemi a tempo discreto e discretizzazione esatta

Soluzione delle equazioni alle differenze per induzione, modi discreti e cerchio unitario, risposta a tempo finito, discretizzazione esatta dimostrata, autovalori continui e discreti, trasformata zeta.

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Molti sistemi evolvono a passi: un calcolatore che aggiorna lo stato a ogni ciclo, un controllore digitale, un modello economico annuale, una popolazione che si riproduce a stagioni. I sistemi a tempo discreto hanno la stessa teoria di quelli continui, con le potenze di matrice al posto degli esponenziali e il cerchio unitario al posto del semipiano sinistro. In questa lezione vediamo la soluzione delle equazioni alle differenze con la dimostrazione, i modi discreti, la discretizzazione esatta di un sistema continuo con la sua dimostrazione e il legame tra gli autovalori nei due mondi.

Le equazioni di stato a tempo discreto

Il sistema lineare stazionario a tempo discreto è

    \[ x(k+1) = Ax(k) + Bu(k),\qquad y(k) = Cx(k) + Du(k) \]

dove k è un intero, l’indice del passo.

Teorema. La soluzione con x(0) = x_0 è

    \[ x(k) = A^k x_0 + \sum_{j=0}^{k-1} A^{\,k-1-j}B\,u(j) \]

Dimostrazione. Per induzione. Per k = 0 la somma è vuota e resta x_0. Se la formula vale per k, allora

    \[ x(k+1) = A\,x(k) + Bu(k) = A^{k+1}x_0 + \sum_{j=0}^{k-1}A^{\,k-j}B\,u(j) + Bu(k) \]

e l’ultimo termine è proprio il termine j = k della somma, con A^0 = I. La formula vale quindi per k + 1. ∎

È l’analogo discreto della formula di Lagrange: evoluzione libera A^k x_0 più una convoluzione discreta dell’ingresso con la risposta all’impulso A^{k-1}B.

I modi a tempo discreto

Se A = V\Lambda V^{-1} è diagonalizzabile, A^k = V\Lambda^k V^{-1}, e i modi sono le successioni \lambda_i^k. Il loro comportamento dipende dalla posizione dell’autovalore nel piano complesso rispetto al cerchio di raggio 1:

  • |\lambda| \lt 1: il modo tende a zero; |\lambda| \gt 1: diverge;
  • \lambda reale positivo: andamento monotono; \lambda reale negativo: il segno alterna a ogni passo, un comportamento che non ha equivalente nei sistemi continui del primo ordine;
  • \lambda = \rho\,e^{\pm j\vartheta} complesso: oscillazione \rho^k\cos(k\vartheta), con \vartheta radianti per passo;
  • \lambda = 0: il modo si annulla dopo un passo. Se tutti gli autovalori sono nulli, A^n = 0 e qualsiasi stato iniziale si azzera in al più n passi. È la risposta a tempo finito (deadbeat), impossibile a tempo continuo.
Cerchio unitario con la posizione di alcuni autovalori a tempo discreto e le successioni corrispondenti
Dentro il cerchio di raggio 1 i modi si smorzano: un autovalore reale positivo dà una successione monotona, uno negativo una successione a segni alterni, una coppia complessa un’oscillazione smorzata. Un autovalore fuori dal cerchio dà una successione che cresce.

La discretizzazione esatta

Un sistema continuo comandato da un calcolatore riceve un ingresso costante a tratti: il calcolatore lo aggiorna ogni T secondi e lo mantiene fino all’aggiornamento successivo (lezione sul controllo digitale di Controllo dei processi). Guardato solo negli istanti di campionamento, il sistema continuo diventa esattamente un sistema discreto.

Teorema. Se \dot{x} = Ax + Bu e u(t) = u(k) costante per kT \le t \lt (k+1)T, allora x_k = x(kT) soddisfa

    \[ x_{k+1} = A_d\,x_k + B_d\,u(k),\qquad A_d = e^{AT},\quad B_d = \int_0^T e^{A\sigma}\,d\sigma\;B \]

Dimostrazione. Si applica la formula di Lagrange partendo dall’istante kT per una durata T:

    \[ x\big((k+1)T\big) = e^{AT}x(kT) + \int_{kT}^{(k+1)T} e^{A((k+1)T - \tau)}B\,u(k)\,d\tau \]

Con il cambio di variabile \sigma = (k+1)T - \tau l’integrale diventa \int_0^T e^{A\sigma}d\sigma\,B\,u(k), e u(k) esce dall’integrale perché è costante. ∎

Non è un’approssimazione: negli istanti di campionamento i due modelli coincidono esattamente.

Esempio. Il sistema del primo ordine \dot{x} = (-x + u)/\tau ha A = -1/\tau, B = 1/\tau. Allora A_d = e^{-T/\tau} e B_d = \frac{1}{\tau}\int_0^T e^{-\sigma/\tau}d\sigma = 1 - e^{-T/\tau}. Il guadagno statico B_d/(1 - A_d) = 1 è lo stesso del sistema continuo, come deve essere.

Gli autovalori nei due mondi

Teorema. Se \lambda è un autovalore di A, allora e^{\lambda T} è un autovalore di A_d = e^{AT}, con lo stesso autovettore.

Dimostrazione. Se Av = \lambda v, allora A^k v = \lambda^k v per ogni k, e sommando la serie dell’esponenziale e^{AT}v = \sum_k \frac{T^k}{k!}A^k v = \sum_k \frac{(\lambda T)^k}{k!}v = e^{\lambda T}v. ∎

Poiché |e^{\lambda T}| = e^{T\,\mathrm{Re}\,\lambda}, un autovalore nel semipiano sinistro (\mathrm{Re}\,\lambda \lt 0) va dentro il cerchio unitario, l’asse immaginario va sul cerchio, il semipiano destro fuori. La stabilità si conserva campionando. Inoltre autovalori continui che differiscono di j\,2\pi/T finiscono nello stesso punto: è l’aliasing (lezione sul campionamento) visto dalla parte dei modi.

La trasformata zeta

Come la trasformata di Laplace per i sistemi continui, la trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche: x(k+1) diventa zX(z) - zx_0. La funzione di trasferimento discreta è

    \[ G(z) = C(zI - A)^{-1}B + D \]

e i suoi poli sono gli autovalori di A (a meno di cancellazioni). La stabilità richiede che stiano tutti dentro il cerchio unitario.

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