Vai al contenuto
Teoria dei Sistemi

Rappresentazione di stato, equilibri e linearizzazione

Il concetto di stato, classificazione dei sistemi, sistemi lineari stazionari, esempio di un circuito RLC, punti di equilibrio, linearizzazione con dimostrazione, il pendolo, cambiamenti di coordinate.

4 min di lettura 0 commenti

La teoria dei sistemi studia in modo unitario oggetti molto diversi, circuiti, macchine, reazioni chimiche, popolazioni, economie, guardando solo a come le cause (gli ingressi) producono effetti (le uscite) nel tempo. Lo strumento centrale è la rappresentazione di stato. In questa lezione vediamo cos’è lo stato, come si classificano i sistemi, i punti di equilibrio, la linearizzazione con la sua dimostrazione e l’esempio del pendolo, e i cambiamenti di coordinate.

Lo stato

Un sistema dinamico ha memoria: l’uscita in un istante non dipende solo dall’ingresso in quell’istante, ma da tutta la storia passata. Lo stato x(t) è l’informazione minima sul passato che, insieme all’ingresso futuro, determina tutta l’evoluzione futura. In un circuito elettrico sono le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori; in un sistema meccanico le posizioni e le velocità; in un serbatoio i livelli.

La rappresentazione ingresso-stato-uscita a tempo continuo è

    \[ \dot{x}(t) = f\big(x(t), u(t), t\big),\qquad y(t) = g\big(x(t), u(t), t\big) \]

con x \in \mathbb{R}^n (il numero n è l’ordine del sistema), ingresso u \in \mathbb{R}^m e uscita y \in \mathbb{R}^p. La prima è l’equazione di stato, la seconda la trasformazione d’uscita. A tempo discreto la derivata è sostituita dal passo successivo, x(k+1) = f(x(k), u(k), k).

La classificazione

  • Lineare se f e g sono lineari in x e u; allora vale la sovrapposizione degli effetti.
  • Stazionario (tempo-invariante) se f e g non dipendono esplicitamente dal tempo.
  • Strettamente proprio se l’uscita dipende dall’ingresso solo attraverso lo stato, cioè non c’è legame istantaneo.

Il caso più studiato, e la base di tutto il corso, è il sistema lineare stazionario:

    \[ \dot{x} = Ax + Bu,\qquad y = Cx + Du \]

con matrici costanti A (n\times n), B (n\times m), C (p\times n) e D (p\times m).

Schema a blocchi della rappresentazione di stato di un sistema lineare stazionario
L’ingresso u passa per la matrice B e si somma al termine Ax; l’integratore produce lo stato x, che attraverso C, più il legame diretto D, dà l’uscita y. La retroazione interna attraverso A descrive la dinamica propria del sistema.

Esempio: un circuito RLC serie. Con stato x_1 = v_C (tensione sul condensatore) e x_2 = i_L (corrente nell’induttore), ingresso la tensione del generatore u e uscita v_C:

    \[ \dot{x}_1 = \frac{1}{C}x_2,\qquad \dot{x}_2 = \frac{1}{L}\left(u - x_1 - R x_2\right) \]

cioè A = \begin{pmatrix} 0 & 1/C \\ -1/L & -R/L \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1/L \end{pmatrix}, C = (1\ \ 0), D = 0.

I punti di equilibrio

Con ingresso costante u = \bar{u}, uno stato \bar{x} è di equilibrio se, partendo da lì, il sistema ci resta: f(\bar{x}, \bar{u}) = 0. Un sistema lineare con A invertibile ha un solo equilibrio, \bar{x} = -A^{-1}B\bar{u}; un sistema non lineare può averne molti, e di natura diversa.

La linearizzazione

Quasi tutti i sistemi reali sono non lineari, ma attorno a un equilibrio si comportano come un sistema lineare.

Teorema. Siano \bar{x}, \bar{u} un equilibrio di \dot{x} = f(x, u) con f derivabile. Per piccoli scostamenti \delta x = x - \bar{x}, \delta u = u - \bar{u} vale, al primo ordine,

    \[ \dot{\delta x} = A\,\delta x + B\,\delta u,\qquad A = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\bar{x},\bar{u}},\quad B = \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{\bar{x},\bar{u}} \]

Dimostrazione. Poiché \bar{x} è costante, \dot{\delta x} = \dot{x} = f(\bar{x} + \delta x, \bar{u} + \delta u). Lo sviluppo di Taylor al primo ordine attorno a (\bar{x}, \bar{u}) dà

    \[ f(\bar{x} + \delta x, \bar{u} + \delta u) = f(\bar{x}, \bar{u}) + \frac{\partial f}{\partial x}\,\delta x + \frac{\partial f}{\partial u}\,\delta u + o(\|\delta x\| + \|\delta u\|) \]

e il primo termine è nullo perché il punto è di equilibrio. Trascurando i termini di ordine superiore resta il sistema lineare. ∎

Le matrici A e B sono le jacobiane di f. Allo stesso modo si linearizza l’uscita, con C = \partial g/\partial x e D = \partial g/\partial u.

L’esempio del pendolo

Un pendolo di lunghezza L, con attrito viscoso e una coppia applicata u, con stato x_1 = \theta (angolo dalla verticale in basso) e x_2 = \omega = \dot\theta:

    \[ \dot{x}_1 = x_2,\qquad \dot{x}_2 = -\frac{g}{L}\sin x_1 - \beta x_2 + \gamma u \]

Con u = 0 gli equilibri sono x_2 = 0, \sin x_1 = 0: il pendolo in basso (\theta = 0) e il pendolo rovesciato (\theta = \pi). Le jacobiane sono

    \[ A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -g/L & -\beta \end{pmatrix},\qquad A_\pi = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ g/L & -\beta \end{pmatrix} \]

perché la derivata di \sin x_1 è \cos x_1, che vale +1 in 0 e -1 in \pi. Le due matrici differiscono per un segno, e questo segno decide tutto: la prima descrive oscillazioni smorzate, la seconda un sistema instabile (lezione sulla stabilità). È lo stesso modello del pendolo inverso su carrello e del segway, che si tengono in piedi solo con la retroazione.

I cambiamenti di coordinate

Lo stato non è unico: se T è una matrice invertibile, anche z = T^{-1}x è uno stato. Sostituendo x = Tz:

    \[ \dot{z} = T^{-1}AT\,z + T^{-1}B\,u,\qquad y = CT\,z + Du \]

Le due rappresentazioni descrivono lo stesso sistema: hanno gli stessi autovalori (le matrici A e T^{-1}AT sono simili) e la stessa relazione tra ingresso e uscita. Scegliendo bene T si ottengono forme più comode, come quella diagonale, in cui ogni coordinata evolve per conto suo, o le forme canoniche (lezione sulla realizzazione).

Articoli correlati

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x