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Progettazione di Sistemi di Automazione

Esercizi di dinamica del veicolo e ADAS svolti: sterzo, sottosterzo, Pacejka, frenata, ACC ed ESC

Undici esercizi con soluzione e grafico: sterzo in curva, velocità caratteristica, trasferimento di carico, spazio di arresto, potenza in autostrada, veicolo sovrasterzante, coefficienti di Pacejka, pure pursuit, ACC e frenata d'emergenza, riferimento dell'ESC, frenata in curva.

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Esercizi sulla dinamica del veicolo e sulle funzioni ADAS, del tipo che si incontrano nei corsi di Progetto di sistemi automatici e nei colloqui per lavorare in automotive, in tre livelli: base, con le formule del modello a bicicletta, dei trasferimenti di carico e delle resistenze; medio, con la stabilità, il modello dello pneumatico e il pure pursuit; esame, con ACC, frenata d’emergenza, ESC e aderenza combinata. Salvo indicazione diversa il veicolo è quello dell’approfondimento: m = 1500 kg, I_z = 2500 kg·m², a = 1{,}1 m, b = 1{,}5 m, L = 2{,}6 m, C_f = 100 kN/rad, C_r = 120 kN/rad, h = 0{,}55 m, g = 9{,}81 m/s². Il risultato è indicato subito; la soluzione completa, con il grafico, si apre con un clic.

Livello base

Esercizio 1. Lo sterzo per una curva

Il veicolo percorre una curva di raggio R = 100 m a 20 m/s (72 km/h). Calcola l’angolo di sterzo alle ruote e al volante (rapporto di sterzo 15) e confrontalo con quello a velocità bassissima.

Risultato: \delta = 2{,}26° alle ruote, 33,9° al volante; a bassa velocità basterebbero 1,49° (22,3° al volante).

Soluzione

1. Accelerazione laterale: a_y = \frac{v^2}{R} = \frac{400}{100} = 4 m/s² (0,41 g).

2. Gradiente di sottosterzo: K_{us} = \frac{m}{L}\left(\frac{b}{C_f} - \frac{a}{C_r}\right) = \frac{1500}{2{,}6}\left(\frac{1{,}5}{100\,000} - \frac{1{,}1}{120\,000}\right) = 3{,}37\cdot 10^{-3} rad/(m/s²).

3. Sterzo: \delta = \frac{L}{R} + K_{us}a_y = 0{,}0260 + 0{,}0135 = 0{,}0395 rad = 2{,}26°. Al volante 15 \times 2{,}26 = 33{,}9°.

4. La parte geometrica (di Ackermann) è \frac{L}{R} = 0{,}026 rad = 1{,}49°: il sottosterzo chiede il 52 % in più. Il guidatore non se ne accorge perché è un aumento graduale con la velocità, ed è proprio quello che rende il veicolo prevedibile.

Angolo di sterzo necessario sulla curva di 100 metri in funzione della velocità
La linea grigia tratteggiata è l’angolo geometrico, 1,49 gradi; la curva blu del veicolo sottosterzante cresce con il quadrato della velocità e a 20 metri al secondo vale 2,26 gradi.

Esercizio 2. Velocità caratteristica e guadagno di imbardata

Calcola la velocità caratteristica del veicolo, il guadagno di imbardata a regime a 20 m/s e il suo valore massimo.

Risultato: v_{ch} = 27{,}8 m/s (100 km/h); r/\delta = 5{,}07 s^{-1} a 20 m/s; massimo 5,35 s^{-1}.

Soluzione

1. v_{ch} = \sqrt{\frac{L}{K_{us}}} = \sqrt{\frac{2{,}6}{3{,}37\cdot 10^{-3}}} = 27{,}8 m/s.

2. \frac{r}{\delta} = \frac{v}{L + K_{us}v^2} = \frac{20}{2{,}6 + 3{,}37\cdot 10^{-3}\cdot 400} = \frac{20}{3{,}946} = 5{,}07 s^{-1}: 1° di sterzo dà 5,07°/s di imbardata.

3. Il massimo di f(v) = \frac{v}{L + K_{us}v^2}: f'(v) = \frac{L - K_{us}v^2}{(L + K_{us}v^2)^2} = 0 per v = v_{ch}, dove f = \frac{v_{ch}}{2L} = \frac{27{,}8}{5{,}2} = 5{,}35 s^{-1}. Alla velocità caratteristica il veicolo è “il più reattivo” allo sterzo; oltre, il sottosterzo prevale e la risposta diminuisce.

Guadagno di imbardata in funzione della velocità
La curva blu del veicolo sottosterzante ha il massimo alla velocità caratteristica di 27,8 metri al secondo; la retta tratteggiata è il veicolo neutro, la curva rossa quello sovrasterzante.

Esercizio 3. Il trasferimento di carico in frenata

Calcola i carichi sugli assi da fermo e in una frenata a 0,8 g.

Risultato: da fermo 8,49 kN davanti e 6,23 kN dietro; in frenata 10,98 kN e 3,74 kN (trasferimento 2,49 kN).

Soluzione

1. Da fermo, equilibrio dei momenti: N_f = mg\frac{b}{L} = 14\,715\cdot\frac{1{,}5}{2{,}6} = 8489 N, N_r = mg\frac{a}{L} = 6226 N.

2. Trasferimento: \Delta N = \frac{m\,a\,h}{L} = \frac{1500\cdot 7{,}848\cdot 0{,}55}{2{,}6} = 2490 N.

3. In frenata N_f = 10\,980 N (75 % del peso), N_r = 3735 N. Con lo stesso \mu, l’asse posteriore può frenare solo con 0{,}8 \times 3735 = 2990 N: se ricevesse la stessa pressione dell’anteriore si bloccherebbe per primo. Da qui la ripartizione di frenata variabile (EBD).

Carichi sugli assi da fermo e in frenata
Le coppie di colonne mostrano il carico anteriore, blu, e posteriore, arancione: in frenata a 0,8 g quasi 2,5 kilonewton passano dal posteriore all’anteriore.

Esercizio 4. Spazio di arresto

Calcola lo spazio di arresto da 100 km/h con \mu = 0{,}9 (asciutto) e \mu = 0{,}5 (bagnato), con un tempo di reazione di 1 s.

Risultato: asciutto 43,7 m di frenata, 71,5 m in tutto; bagnato 78,7 m di frenata, 106,4 m in tutto.

Soluzione

1. v = 27{,}8 m/s. Decelerazione massima \mu g: 8,83 m/s² sull’asciutto, 4,91 m/s² sul bagnato.

2. Spazio di frenata s = \frac{v^2}{2\mu g}: \frac{771{,}6}{17{,}66} = 43{,}7 m e \frac{771{,}6}{9{,}81} = 78{,}7 m.

3. Nel tempo di reazione si percorrono 27,8 m: totali 71,5 m e 106,4 m. Lo spazio di frenata cresce con il quadrato della velocità: a 130 km/h sull’asciutto diventa 73,8 m. È il motivo per cui l’AEB riduce molto gli incidenti: elimina il tempo di reazione.

Spazio di arresto in funzione della velocità
Le curve blu, asciutto, e azzurra, bagnato, includono 1 secondo di reazione; a 100 chilometri orari, linea verticale, valgono 71,5 e 106,4 metri.

Esercizio 5. Resistenze e potenza in autostrada

Con C_dA = 0{,}66 m², f = 0{,}012 e \rho = 1{,}2 kg/m³, calcola le resistenze e la potenza necessaria a 130 km/h in piano e confrontala con quella a 100 km/h.

Risultato: F_a = 516 N, F_r = 177 N, P = 25{,}0 kW a 130 km/h; 13,4 kW a 100 km/h.

Soluzione

1. v = 36{,}1 m/s. Aerodinamica: \frac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 0{,}66\cdot 36{,}1^2 = 516 N. Rotolamento: 0{,}012\cdot 1500\cdot 9{,}81 = 177 N.

2. P = (516 + 177)\cdot 36{,}1 = 25{,}0 kW alle ruote.

3. A 100 km/h: F_a = 306 N, P = (306 + 177)\cdot 27{,}8 = 13{,}4 kW. Andando il 30 % più veloci serve l’87 % di potenza in più: per tratti lunghi il consumo per chilometro sale di circa il 40 %. Con un’auto elettrica è l’effetto che riduce l’autonomia in autostrada.

Potenza necessaria in piano in funzione della velocità
La curva rossa cresce quasi con il cubo della velocità: 13,4 kilowatt a 27,8 metri al secondo e 25 kilowatt a 36,1.

Livello medio

Esercizio 6. Il veicolo sovrasterzante

Un veicolo ha il baricentro spostato indietro: a = 1{,}5 m, b = 1{,}1 m, C_f = C_r = 100 kN/rad (stessi m, I_z). Calcola K_{us}, la velocità critica e i poli a 25 m/s e a 40 m/s.

Risultato: K_{us} = -2{,}31\cdot 10^{-3} rad/(m/s²); v_{crit} = 33{,}6 m/s (121 km/h); a 25 m/s poli -1{,}35 e -9{,}52, a 40 m/s +0{,}64 e -7{,}43.

Soluzione

1. K_{us} = \frac{1500}{2{,}6}\cdot\frac{1{,}1 - 1{,}5}{100\,000} = -2{,}31\cdot 10^{-3}: sovrasterzante.

2. v_{crit} = \sqrt{\frac{L}{|K_{us}|}} = \sqrt{\frac{2{,}6}{2{,}31\cdot 10^{-3}}} = 33{,}6 m/s.

3. A 25 m/s la matrice A ha determinante +12{,}8 e traccia negativa: poli reali -1{,}35 e -9{,}52, stabile ma con un polo lento. A 40 m/s il determinante è -4{,}7: poli +0{,}64 e -7{,}43. Il polo positivo fa crescere l’imbardata come e^{0{,}64t}: raddoppia ogni 1,1 s senza che il guidatore sterzi. È il testacoda.

4. Per questo nessuna auto di serie è sovrasterzante in regime lineare. Le auto a motore posteriore, con molto peso dietro, compensano con pneumatici posteriori più larghi (C_r \gt C_f).

Parte reale del polo più lento in funzione della velocità
Per il veicolo sovrasterzante, in rosso, il polo attraversa lo zero alla velocità critica di 33,6 metri al secondo; per quello dell’approfondimento, in blu, resta sempre negativo.

Esercizio 7. I coefficienti di Pacejka

Uno pneumatico con F_z = 4000 N, \mu = 1 ha rigidezza di deriva C_\alpha = 50 kN/rad e fattore di forma C = 1{,}3. Con E = 0, trova B, la forza laterale a 2°, 5° e 10°, e l’angolo del picco.

Risultato: B = 9{,}6 rad^{-1}; 1,63, 3,15 e 3,90 kN (il modello lineare darebbe 1,75, 4,36 e 8,73 kN); picco di 4 kN a 15,7°.

Soluzione

1. D = \mu F_z = 4000 N; la pendenza nell’origine è BCD = C_\alpha, quindi B = \frac{50\,000}{1{,}3\cdot 4000} = 9{,}6 rad^{-1}.

2. A 2° (x = 0{,}0349 rad): Bx = 0{,}336, \arctan = 0{,}324, F = 4000\sin(0{,}421) = 1635 N, contro 1745 N del modello lineare (−6 %).

3. A 5°: F = 3152 N (lineare 4363 N, −28 %); a 10°: F = 3897 N (lineare 8727 N). Il modello lineare è accettabile fino a circa 2-3°, cioè fino a circa 0,4 g di accelerazione laterale: è il campo in cui lavorano ACC e LKA, non l’ESC.

4. Il picco è dove C\arctan(Bx) = \frac{\pi}{2}: \arctan(Bx) = 1{,}208, Bx = 2{,}65, x = 0{,}276 rad = 15{,}7°. Gli pneumatici reali hanno il picco a 6-10°: è il coefficiente E, negativo o vicino a 1 nei dati misurati, che sposta e affila il picco.

Forza laterale con la formula magica e con il modello lineare
La curva blu satura a 4 kilonewton, il picco a 15,7 gradi; la retta grigia tratteggiata è il modello lineare; i punti segnano 2, 5 e 10 gradi.

Esercizio 8. Pure pursuit

Un veicolo autonomo (L = 2{,}6 m) usa il pure pursuit con distanza di guardata L_d = 8 m e vede il punto obiettivo con \alpha = 8°. Calcola curvatura, raggio e angolo di sterzo; poi di’ come cambia lo sterzo se L_d passa a 16 m con lo stesso \alpha.

Risultato: \kappa = 0{,}0348 m^{-1}, R = 28{,}7 m, \delta = 5{,}17°; con 16 m lo sterzo si dimezza circa (2,59°).

Soluzione

1. \kappa = \frac{2\sin\alpha}{L_d} = \frac{2\cdot 0{,}1392}{8} = 0{,}0348 m^{-1}, R = 28{,}7 m.

2. \delta = \arctan(L\kappa) = \arctan(0{,}0905) = 5{,}17°.

3. Con L_d = 16 m: \kappa = 0{,}0174, \delta = 2{,}59°. Una guardata più lunga è come un guadagno più basso: correzioni più dolci, più stabili ad alta velocità, ma la curva viene “tagliata”. Per questo L_d si fa crescere con la velocità.

Geometria del pure pursuit
L’arco tratteggiato arancione tangente all’asse del veicolo e passante per il punto G ha raggio R: con L d di 8 metri e alfa di 8 gradi vale 28,7 metri.

Livello esame

Esercizio 9. ACC e frenata d’emergenza

Un veicolo a 30 m/s ha l’ACC con d_0 = 5 m e h = 1{,}8 s. (a) Quale distanza mantiene? (b) Dietro una curva compare un veicolo a 15 m/s, a 40 m: calcola il tempo alla collisione e la decelerazione costante che evita l’urto. (c) Se l’AEB interviene solo a TTC = 1{,}5 s, quale decelerazione serve?

Risultato: (a) 59 m; (b) TTC = 2{,}67 s, 2,81 m/s²; (c) 5,0 m/s².

Soluzione

(a) d = d_0 + hv = 5 + 1{,}8\cdot 30 = 59 m.

(b) Velocità relativa 15 m/s: TTC = \frac{40}{15} = 2{,}67 s. Per non urtare basta annullare la velocità relativa prima che la distanza si annulli: con decelerazione costante a lo spazio relativo è \frac{v_{rel}^2}{2a} \le 40, quindi a \ge \frac{225}{80} = 2{,}81 m/s². È una frenata moderata: l’ACC stesso (limitato di solito a 3-4 m/s²) può gestirla.

(c) A TTC = 1{,}5 s la distanza è 15\cdot 1{,}5 = 22{,}5 m: a = \frac{225}{45} = 5{,}0 m/s², ancora sotto \mu g sull’asciutto ma non sul bagnato con pneumatici consumati. Per questo l’AEB avvisa prima (circa a 2,5 s) e frena a fondo poco dopo, e tiene conto del ritardo di 0,2-0,3 s con cui la pressione dei freni sale.

Distanza dal veicolo che precede in funzione del tempo
Senza frenare, retta rossa tratteggiata, la distanza si annulla a 2,67 secondi; frenando a 2,81 metri al secondo quadro, curva blu, la distanza scende fino a zero proprio quando le velocità si eguagliano, a 5,3 secondi.

Esercizio 10. Il riferimento dell’ESC

A 30 m/s su asfalto con \mu = 0{,}9, il guidatore sterza di 3° e poi di 4° alle ruote. Calcola il riferimento di imbardata dell’ESC nei due casi. Se con 4° il giroscopio misura r = 0{,}35 rad/s, che cosa fa l’ESC?

Risultato: guadagno 5,33 s^{-1}; 3°: r_{ref} = 0{,}279 rad/s; 4°: il modello lineare darebbe 0,372, saturato a 0,294 rad/s. Con 0,35 rad/s il veicolo sovrasterza: l’ESC frena la ruota anteriore esterna.

Soluzione

1. Guadagno a 30 m/s: \frac{30}{2{,}6 + 3{,}37\cdot 10^{-3}\cdot 900} = 5{,}33 s^{-1}. Limite d’aderenza: \frac{\mu g}{v} = \frac{8{,}83}{30} = 0{,}294 rad/s.

2. 3° = 0,0524 rad: r_{lin} = 0{,}279 rad/s, sotto il limite: r_{ref} = 0{,}279.

3. 4° = 0,0698 rad: r_{lin} = 0{,}372 rad/s, che richiederebbe a_y = 30\cdot 0{,}372 = 11{,}2 m/s², più di \mu g = 8{,}83. Il riferimento è saturato a 0,294 rad/s: l’ESC non chiede al veicolo ciò che la strada non può dare.

4. Misura 0,35 rad/s > 0,294: il veicolo ruota più di quanto la traiettoria possibile consenta, cioè la coda sta scivolando (sovrasterzo). L’errore è 0,056 rad/s; frenando l’anteriore esterna si crea un momento d’imbardata opposto. Spesso si riduce anche la coppia del motore.

Riferimento di imbardata dell'ESC in funzione dell'angolo di sterzo
La retta tratteggiata è il guadagno lineare, la curva blu il riferimento saturato a 0,294 radianti al secondo; il punto rosso, la misura di 0,35 a 4 gradi, sta sopra il riferimento: sovrasterzo.

Esercizio 11. Frenare in curva

Su una curva di 100 m con \mu = 0{,}9, calcola la velocità massima senza frenare e quella se il guidatore frena a 0,5 g (modello del cerchio d’aderenza).

Risultato: 29,7 m/s (107 km/h) senza frenare; 27,1 m/s (97,5 km/h) frenando a 0,5 g.

Soluzione

1. Senza frenare tutta l’aderenza va in curva: \frac{v^2}{R} \le \mu g, v = \sqrt{0{,}9\cdot 9{,}81\cdot 100} = 29{,}7 m/s.

2. Frenando, il cerchio d’aderenza impone a_x^2 + a_y^2 \le (\mu g)^2: a_y \le g\sqrt{0{,}81 - 0{,}25} = 0{,}748g = 7{,}34 m/s².

3. v = \sqrt{7{,}34\cdot 100} = 27{,}1 m/s. Una frenata decisa toglie 10 km/h di velocità ammissibile in curva. L’ABS e l’ESC lavorano insieme proprio qui: l’ABS evita che le ruote bloccate perdano tutta la forza laterale, l’ESC corregge l’imbardata.

Il cerchio d'aderenza con la frenata
Con una decelerazione di 0,5 g, freccia verticale, la massima accelerazione laterale sul cerchio di raggio 0,9 g è 0,748 g, freccia orizzontale; la risultante rossa tocca il cerchio.

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