Localizzazione di magazzini e impianti
Fattori della localizzazione, mediana pesata ottima su una linea dimostrata, baricentro e minimi quadrati dimostrato, esempio a confronto, problema di Weber e più impianti.
Dove costruire un magazzino, uno stabilimento, un centro di assistenza? La scelta vincola i costi di trasporto e i tempi di consegna per decenni. In questa lezione vediamo i fattori della localizzazione, il problema su una linea con la dimostrazione che la mediana pesata minimizza la distanza totale, il baricentro con la dimostrazione che minimizza la somma dei quadrati, un esempio che li confronta, e i modelli per più impianti.
I fattori
Le scelte di localizzazione combinano fattori quantitativi (costi di trasporto in entrata e in uscita, costo del terreno, del lavoro e dell’energia, imposte e incentivi) e qualitativi (disponibilità di personale qualificato, infrastrutture, vicinanza ai clienti e ai fornitori, stabilità politica, vincoli ambientali). I fattori qualitativi si valutano spesso con una tabella a punteggi pesati; quelli di trasporto con modelli matematici, partendo dal più semplice.
La localizzazione su una linea
Si considerino clienti lungo una strada, alle posizioni 
, con domande (pesi) 
: numero di consegne o tonnellate all’anno. Il costo di trasporto è proporzionale al peso per la distanza, e si cerca la posizione 
del magazzino che minimizza
![\[ C(x) = \sum_iw_i\,|x - x_i| \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-501985ecaa3c2b12bf4622b6535c0b51_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Teorema. Il costo è minimo nella mediana pesata: un punto in cui il peso totale dei clienti a sinistra e quello dei clienti a destra non superano ciascuno la metà del totale.
Dimostrazione. Spostando il magazzino di un piccolo tratto 
verso destra, la distanza da ogni cliente a sinistra aumenta di e quella da ogni cliente a destra diminuisce di : il costo cambia di 
, dove 
e 
sono i pesi a sinistra e a destra. Conviene spostarsi a destra finché 
, a sinistra finché 
. Ci si ferma nel punto in cui nessuno dei due supera la metà del peso totale, cioè nella mediana pesata. ∎
È notevole che la soluzione non dipenda dalle distanze dei clienti, ma solo dal loro ordine e dai pesi: un cliente molto lontano non “tira” il magazzino più di uno vicino nella stessa direzione.
Esempio. Pesi 10, 30, 20, 15, 25 (totale 100) ai chilometri 0, 10, 25, 40, 60. Cumulando da sinistra: 10, 40, 60. La metà, 50, si supera al cliente del chilometro 25: è la mediana, e il costo vale 
(tonnellate per chilometro).
Il baricentro
Un metodo molto usato è il baricentro, cioè la media pesata delle posizioni, 
. Che cosa minimizza?
Teorema. Il baricentro minimizza la somma pesata dei quadrati delle distanze, 
.
Dimostrazione. La funzione è una parabola in con derivata 
, che si annulla per 
, cioè nel baricentro; la derivata seconda 
è positiva. ∎
Nell’esempio il baricentro è al chilometro 
, dove la distanza totale vale 1880: il 4 % in più della mediana. Il baricentro pesa troppo i clienti lontani, perché le distanze contano al quadrato; per i costi di trasporto, che crescono in modo circa lineare con la distanza, è solo un’approssimazione, comoda come punto di partenza.
Nel piano e con più impianti
Nel piano con distanze rettangolari (strade a griglia, corridoi di un magazzino) il problema si separa nelle due coordinate, e la soluzione è la mediana pesata delle e quella delle 
. Con distanze in linea d’aria (problema di Weber) non c’è una formula, ma l’algoritmo iterativo di Weiszfeld converge partendo dal baricentro. Con le distanze stradali reali si usano i sistemi informativi geografici.
Con più impianti da localizzare il problema diventa combinatorio: scegliere tra siti candidati quali aprire e assegnare a ciascuno i clienti, bilanciando i costi fissi di apertura (che spingono verso pochi impianti) con i costi di trasporto e le scorte (che spingono verso molti, salvo la legge della radice quadrata, lezione sulla catena di fornitura). Si formula come programmazione lineare intera e si risolve con programmi di ottimizzazione, che oggi gestiscono reti con centinaia di siti candidati e migliaia di clienti.
