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Ingegneria Logistica

Previsione della domanda: medie mobili e livellamento esponenziale

Media mobile, livellamento esponenziale con pesi ed età media dei dati dimostrati, esempio numerico, MAD, MAPE e segnale di tracciamento, metodi di Holt e Holt-Winters.

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Ogni decisione logistica si basa su una previsione della domanda: quante scorte tenere, quanti camion prenotare, quanto produrre il mese prossimo. Le previsioni sono sempre sbagliate; l’obiettivo è che lo siano poco, senza errori sistematici, e di sapere quanto. In questa lezione vediamo la media mobile e il livellamento esponenziale con la dimostrazione dei suoi pesi e dell’età media dei dati, un esempio numerico, le misure dell’errore, e i metodi per trend e stagionalità.

La media mobile

La previsione più semplice per il prossimo periodo è la media degli ultimi n valori:

    \[ F_{t+1} = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}D_{t-k} \]

Con n grande la previsione è stabile ma reagisce lentamente ai cambiamenti; con n piccolo reagisce in fretta ma insegue anche il rumore. L’età media dei dati usati è (n - 1)/2 periodi.

Il livellamento esponenziale

Il livellamento esponenziale corregge la previsione precedente di una frazione \alpha dell’errore:

    \[ F_{t+1} = F_t + \alpha(D_t - F_t) = \alpha D_t + (1 - \alpha)F_t,\qquad 0 \lt \alpha \lt 1 \]

Richiede di memorizzare un solo numero, ed è il metodo più usato nei sistemi di gestione delle scorte. È un filtro passa-basso del primo ordine (lezione sui sistemi a tempo discreto), come la stima delle raffiche nella pianificazione della CPU (lezione sulla pianificazione di Sistemi operativi).

Teorema. Sviluppando la ricorsione, la previsione è una media pesata di tutti i dati passati con pesi \alpha(1 - \alpha)^k, che sommano a 1; l’età media dei dati è (1 - \alpha)/\alpha.

Dimostrazione. Sostituendo ripetutamente F_t = \alpha D_{t-1} + (1 - \alpha)F_{t-1} si ottiene F_{t+1} = \sum_{k\ge 0}\alpha(1 - \alpha)^kD_{t-k} (il termine residuo, moltiplicato per (1 - \alpha)^m, tende a zero). La somma dei pesi è la serie geometrica \alpha\sum_k(1 - \alpha)^k = \alpha/\alpha = 1. L’età media è \sum_kk\,\alpha(1 - \alpha)^k = \alpha(1 - \alpha)/\alpha^2 = (1 - \alpha)/\alpha, usando \sum_kkx^k = x/(1 - x)^2. ∎

I pesi decrescono geometricamente: i dati recenti contano di più, ma nessuno è dimenticato del tutto. Uguagliando le età medie, un livellamento con \alpha equivale a una media mobile di n = 2/\alpha - 1 periodi: con \alpha = 0{,}2 l’età media è 4 periodi, come una media mobile di 9.

Esempio. Domanda 100, 110, 105, 120, 115 nei primi cinque mesi, \alpha = 0{,}3, previsione iniziale 100. Le previsioni per i mesi 2-6 sono 100, 103, 103,6, 108,5, 110,5. Gli errori dei mesi 2-5 sono +10, +2, +16,4, +6,5: errore assoluto medio (MAD) circa 8,7, ma tutti positivi.

Domanda e previsione con livellamento esponenziale
I punti neri sono la domanda di ogni periodo, che cresce con un trend e oscilla; la linea rossa è la previsione con alfa uguale a 0,3, che segue l’andamento con ritardo e resta sistematicamente sotto la domanda.

Misurare l’errore

  • MAD (errore assoluto medio) o RMSE (errore quadratico medio): quanto si sbaglia in media; con errori circa normali \sigma \approx 1{,}25\,MAD, che entra nel calcolo della scorta di sicurezza (lezione sulle scorte).
  • MAPE (errore percentuale assoluto medio): confrontabile tra articoli di volumi diversi, ma inutilizzabile con domande vicine a zero.
  • Distorsione (bias): la media degli errori con il segno. Deve essere vicina a zero; il segnale di tracciamento, somma cumulata degli errori divisa per il MAD, segnala quando supera ±4 circa che il modello non segue più la domanda.

Nell’esempio tutti gli errori sono positivi: il livellamento semplice insegue un trend senza raggiungerlo, perché suppone un livello costante.

Trend e stagionalità

  • Il metodo di Holt aggiunge una seconda equazione che stima la pendenza del trend, anch’essa livellata, e la previsione diventa livello più pendenza per il numero di periodi.
  • Il metodo di Holt-Winters aggiunge i coefficienti stagionali (per esempio la domanda di climatizzatori d’estate o di elettronica a Natale), aggiornati ogni anno.
  • I metodi causali legano la domanda a variabili esplicative (prezzo, promozioni, meteo) con la regressione; i metodi di apprendimento automatico combinano molte variabili e molti articoli simili.

Due regole pratiche valgono per tutti: le previsioni aggregate (per famiglia di prodotti, per regione, per mese) sono più precise di quelle dettagliate, per la stessa compensazione statistica della legge della radice quadrata (lezione sulla catena di fornitura); e quanto più lontano si guarda, tanto più grande è l’errore, quindi conviene accorciare i tempi di risposta invece di prevedere più lontano.

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